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dass überhaupt die Anzahll der Wurzeln den Grad der Gleichung nicht übersteigen könne. Von den negativen Wurzeln gab er verschiedene Anwendung in der Geometrie; er bezeichnete z. B. durch+ das Vorwärtsgehen in einer gewissen Richtung und durch— des Rückwärtsgehen auf derselben Graden, — la solution par moins s'explique en géométrie en retrogradant—, so dass eine Grösse ihr Zeichen ändert, wenn sie durch O gegangen ist.
Ein anderer Nachfolger Vietas, der Engländer Thomas Harriot), zeigte zum ersten Male die Entstehung der Gleichungen aus der Multiplikation einfacher Faktoren vom ersten Grade, deren Anzahl dem Grade der Gleichung entspricht ²). Hieraus ergiebt sich der beréits angeführte Zu- sammenhang zwischen Wurzeln und Koefficienten, welchen Vieta bereits gefunden hatte, von selbst. Harriot sah gleichfalls von den negativen Wurzeln ab, obschon ec solche bei Bildung seiner Gleichungen annahm. Man war aber noch so sehr an Hergebrachtos gewöhnt, dass das Vorgehen Harricts, alle Glieder der Gleichung auf eine Seite des Gleichheitszeichens zu bringen und sie gleich Null zu setzen, als ein grosser Fortschritt bezeichnet werden muss. Während Vieta sich noch der grossen Buchstaben bediente, gebrauchte Harriot bereits die kleinen zur Bezeichnung allgemeiner Zahlen.
Die negativen Wurzeln waren also von Cardanus erkannt, von Vieta und Girard ihrem Wesen nach zwar erfasst worden, noch war aber die Geomefrie des Desca rtes³⁴) nötig, um vollständig mit ihnen ins klare zu kommen. Descartes giebt zuerst ⁴) den negativen Wurzeln eine faktische Bedeutung, indem er sie als geometrisch ebenso gut darstellbar nachweist als die positiven. So war man endlich dahin gekommen, dass man nur noch einen Unterschied zwischen den reellen positiven oder negativen und den unmöglichen oder imaginären Wurzeln machte..
Natürlich wurden in den folgenden zwei Jahrhunderten eine grosse Anzahl von algebraischen Auflösungsmethoden quadratischer Gleichungen gefunden, von denen wir nur die von v. Tschirn- hausen⁵) und Mallet erwähnen, weil sie noch dem achtzehnten Jahrhundert angehören.
Die Methode ⁶) v. Tschirnhausens besteht darin, dass man eine ganze algebraische Funktion vom zweiten oder ersten Grade mit unbestimmten Koefficienten substituiert und durch Eli- mination der Unbekannten eine Finalgleichung erzielt, welche die unveränderte Gleichung in einer bestimmten und leichter lösbaren Form ergiebt.
Mallet) vergleicht mit der gegebenen Gleichung
æν †‿¶ ar+ 5=
(mæ+f n)?=„ 2„2,
die Gleichung
¹) Harriot, geb. Oxford 1560, gest. London 1621, vermass in Diensten von Sir Walther Raleigh die Colonie in Virginien und lepte später als Pensionär des Grafen von Northumberland in London. 2) cf. Artis analyticae practicae ad aequationes algebraicas resolvendas. Lond. 1631.(Posthum.) ³) Descartes oder Cartesius, geb. La Haye en Touraine 1596, gest. Stockholm 1650, brachte seine Jugend auf Reisen und in Kriegsdiensten zu, privatisierte 1629 bis 1649 in Holland und folgte zuletzt einem Rufe der Königin Christine an ihren Hof. 4) Car- tesius de natura aequationum, pag. 70. Amstelod. 1683. ⁵) v. Tschirnhausen, geb. Zzu Kieslingswalde in Schlesien 1651, gest. Dresden 1708, war viel auf Reisen, auswärtiges Mitglied der Pariser Akademie, lebte zuletzt in Dresden. ⁶) cf. Methodus auferendi omnes terminos intermedios ex data aedquatione. Act. Erud. Lips. 1683 und Grunerts Archiv XI. pag. 214. ⁷) Mallet, geb. Genf 1740, gest. Genf 1790, Prof. der Astronomie in Genf. Nova analysis aequationum secundi, tertii et quarti gradus. Vol. III, pag. 248.