3.+ 1à m?—„ ½ m. Das Subtrahieren und Addieren heisst hier minue dami. Interessant sind die geometrischen Beweise, die Cardanus den Regeln zu grunde gelegt hat, auf die wir aber hier nicht weiter eingehen können.
Ist n grösser als 1/4¼ ⁷ν, so sagt Cardanus:„Quaestio ipsa est falsa nec esse potest, quod proponitur, semper autem pro regula generali in hoc tractatu toto est observandum, quod cum ea, quae praecipiuntur, fieri non possunt, nec illud, quod proponebatur, fuit nec esse potuit.“ Wir sehen also, dass auch Cardanus die negativen Wurzeln nicht beachtete.
Franciscus Vietau) bespricht in seinem Buche:„De recognitione et emendatione aequa- tionum“ zuerst die verschiedenen Formen, unter denen die Gleichungen auftreten oder auf die man sie bringen, und die Art, wie man sich dieselben entstanden und abgeleitet denken kann. In letzterer Hinsicht führt er die Gleichungen, welchen Grades sie auch sein mögen, auf Proportionen zurück. So sagt er z. B., wenn wir die quadratische Gleichung haben
12 dann ist x die eine äussere, c die mittlere und D die Differenz der beiden äusseren von drei propor- tionalen Grössen, denn aus der Proportion
3,.. folgt obige Gleichung.
Bei der Auflösung der Gleichungen ist sein Hauptprincip die Reduktion. Gleichungen zweiten Grades löst er durch Wegschaffen der Unbekannten in der ersten Potenz mittels einer geeigneten Substitution. Gegeben sei z. B. die Gleichung ²)
42+‿ a+ 5—o, so substituiert Vieta für die lineare Function u+‿ und erhält 82+(22+ a) u+(2+‿ a⸗+ b) o; damit diese Gleichung eine rein quadratische werde, muss 22+. a—o, also—— ½ 3 sein. Die transformierte Gleichung in u wird dadurch 2¹2 11(4*— 4 5) und T.= ⸗2— ½+ 2 42— 45.
Das letzte Kapitel seines Buches:„De recognitione et emendatione aequationum“ enthält noch eine Entdeckung Vietas, die einen der wichtigsten und erfolgreichsten Sätze in der Theorie der Gleichungen betrifft. Er zeigt nämlich, dass, wenn der Koefticient von æ gleich der Summe zweier Zahlen ist und ihr Produkt die bekannte Grösse bildet, jede der beiden Zahlen eine Wurzel der Gleichung ist..
Dieselbe Entdeckung wird einem Zeitgenossen Vietas, dem niederländischen Geometer Girard*) zugeschrieben. Derselbe zeigt in seinem Werke„Neue Erfindungen in der Algebra“ den Zusammen- hang der Wurzeln einer Gleichung mit ihrem Koefficienten und nimmt dabei auch auf die negativen Wurzeln Rücksicht. Er hatte schon eine Vorstellung von den unmöglichen Wurzeln und zeigte auch
1) Vieta, geb. Fontenay 1540, gest. Paris 1603, maitre des reduétes am Hofe Heinrichs IV. ²) De aed uationum recognitione et emendatione tract. II. cap. 1. ³) Girard(geb. 15.. gest. 1633 flamändischer Mathematiker, ein Schüler Stevins) Invention uouvelle dans l'algebre. Amsterdam 1629.