Wenn a negativ ist, wie im zweiten und vierten Falle, und 1aν— 4 bm kleiner als a, so giebt es nach Bhaskaras Ansicht zwei Werte von x, sonst aber nur einen; negative Werte gehören nach ihm nämlich in die Klasse der unmöglichen Wurzeln.
Die erste bekannte mathematische Arbeit eines Arabers ist die Algebra des schon erwähnten Abu Abdallah Mahommed ben Musa. Auf Wunsch des Kalifen Almamun hatte er einen grossen zweiten Auszug aus indischen astronomischen Tafeln gemacht, die unter dem Namen Al-Send- Hend sehr berühmt waren. Dabei versuchte er sich auch in anderen mathematischen Disciplinen, sein bedeutendstes Werk jedoch ist seine Algebra. Die Gleichungen zweiten Grades werden in diesen Werke zum Teil aufgelöst, wie dies von Bhaskara’¹) in der Lilavati geschieht. Ganz in der Weise der Inder giebt Mahommed ben Musa Vorschriften für die drei Fälle der quadratischen Gleichungen:
42+ 52 o,
a+ e= be,
T—ö br c, welche von jeher unterschieden wurden. Eigentümlich sind ihm aber die Beweise, welche er am Ende zur Erklärung dieser Vorschriften giebt, sie sind bereits auf geomcetrische Betrachtungen gestützt.
Gesetzt es sei die Gleichung 2+ 107= 39 aufzulösen, so verfährt Ben-Musa dabei folgendermassen ²): abcd sei ein Quadrat, dessen Seite ad=, mithin abcd=. An jede Seite dieses Quadrats setze man ein Recht-
eck m an, dessen Grundlinie ᷣ= x sei, dessen Höhe be aber man 2 2 n gleich 2 ½ annehme; mZ ist also= 2 ½& und 4 m= 4. 2 ½ ½= 10 x.* 4
Das Quadrat mit den vier Rechtecken ist daher+ 10, aber auch
gleich 39. Vervollständigt man aber nun die Figur durch die Quadrate m m
n, so erhält man das grössere Quadrat, dessen Seite gh ist. Es ist
aber bez=(2 ½)2= 6 ¼, also 4 9= 25, also gh²= 39+f 25= 64 2 4 und gh= 8= 2 ge+. of, mithin 8= 5+ ef, also ef= 3 und= 3. n m n Ahnlich sind die Beweise für andere Fälle. L 4 1 4
Ausser Mahommed ben Musa haben noch viele Araber über Arithmetik und Algebra ge- schrieben; zu den bedeutendsten von ihnen gehören Abu-Yusef-Akendi, gewöhnlich Alkindus genannt, und sein Schüler Ahmed ben Mahommed.
Die Kreuzzüge und namentlich die Handelsverbindungen der Italiener bewirkten einen näheren Verkehr des Occidents mit dem Orient, und so kam es, dass ein italienischer Kaufmann aus Pisa mit Namen Leonardo Bonacci³) um das Jahr 1200 die Kenntnisse der arabischen Arithmetik und Algebra in sein Vaterland brachte. Uberall, wohin ihn seine Reisen führten, unterrichtete 4) er sich über die gebräuchlichen Rechmungsweisen, und es dürfte gar nicht unwahrscheinlich sein, dass er zuerst das indische Zahlensystem eingeführt hat, womit eine neue Kra in der Geschichte der Mathematik beginnt.
¹) cf. Hankel zur Geschichte der Mathematik im Altertum und Mittelalter. Leipzig 1874 pag. 261. 2) cf. Mahommed ben Musa ed. by Rosen pag. 13, ferner Libri Hist. I pag. 233 und Cardani ars magna. Cap. III. 3) cf. Geschichte der Mathemat, von Poppe§. 139 und Geschichte der reinen Mathematik von Arneth pag. 216 299, ⁴) cf. Montucla Hist. des Mathem. II. part, liyr. 2 pag. 44 und III, part, liv, 3 p. 476.