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Das nächste uns bekannte indische Werk ist das von Brahm egupta¹) ums Jahr 628 n. Chr. Der vierte Abschnitt des 18. Kapitels enthält die Auflösung der Gleichungen zweiten Grades.

Die Lilavati oder Rechenkunst Bhaskaras aus dem Jahre 1150 giebt bereits Regeln zur Auflösung von Gleichungen von der Form:

r+ ale= b oder auch er+ ar= 5.

Durch eine grosse Anzahl von Beispielen werden die gegebenen Vorschriften erläutert. Diese beziehen sich jedoch bloss auf Operationen, welche mit den gegebenen Zahlen vorgenommen werden müssen, um die Unbekannte zu finden. Auch das fünfte Kapitel von Bhaskaras Vija-Ganita oder Algebra enthält algebraische Auflösungen der Gleichungen zweiten Grades; ihre Theorie wird. auf die ältesten Mathematiker, namentlich auf den schon erwähnten Aryabhatta zurückgeführt. In ganz allgemeiner Weise wird eine Regel zuerst gegeben, welche sich auch auf passende Fälle von Gleichungen höheren Grades anwenden lässt. Hierher gehört z. B. die Gleichung:

12 Aä= Ga* † 35 oder 4³-— 6 42+ 12*= 35. Wird auf beiden Seiten 8 subtrahiert, so wird *³— 6 a2 †. 12— 8= 27 oder (x— 2)3= 27 also—= 5.

Eine andere derartige Gleichung ist:

44= 2(4²+. 200 x)+ 9999.

Wird auf beiden Seiten 4+ 1 addiert und 400 x auf die andere Seite gebracht, so giebt es:

7⁴+ 2 42+ 1= 442+ 400 x+ 10000 oder (22½+ß 1) 2=(2+† 100)2

2- 1= 2%+ 100

x.ν— 2+ 1= 100

(x— 1)²2= 100, also= 11.

Wo solche Wege nicht zum Ziele führen, muss seine allgemeine Vorschrift helfen. Hat man eine Gleichung

mr+‿¶ ar= 1, so muss man sie erst mit 4 2 multiplicieren und a auf beiden Seiten addieren, es entsteht 4 nò²α ‿†+‿4 amT+ a2= a2+ 4 bm oder

2 ma. 4 Va* 4 bm, also .— a+, 1 aν+. 4 bm

æ 2 m Es werden ferner die besonderen Fälle unterschieden: maꝛ †˖ ax= L, d

ma?— al= b, ma? ̃ aa=— b und mal— ax=— P.

¹) Brahmegupta and Bhaskara Algebra with arithmetik and mensuration, from the sanscrit trauslated by A. T. Calebrooke, Jondon.