I. Quadratische Gleichungen.
Der Grieche Diophantus wird gewöhnlich für den Erfinder der Algebra d. h. der Lehre von den Gleichungen gehalten. Er lebte unter der Regierung des Kaisers Julianus Apostata, also in der zweiten Hälfte des vierten Jahrhunderts nach Christi Geburt und lehrte in Alexandria, woher er auch wahrscheinlich stammte. Ihm war auch bereits die algebraische Auflösung der quadratischen Gleichungen bekannt. Vor ihm findet man noch keine Spur einer solchen Auflösung. Wenn aber auch den Alten die Kenntnis dieser Auflösungsart der Form nach abgesprochen werden kann, so darf man doch keineswegs behaupten, dass sie dieselbe nicht der Sache nach kannten. In dem alten ägyptischen Rechenbuch des Ahmer, das in den letzten Jabren uns durch Eisenlohr zugänglich gemacht wurde und das um fast 2000 Jahre vor den Beginn unserer Zeitrechnung zurückgreift, finden sich freilich nur Aufgaben, die durch Gleichungen ersten Grades gelöst werden konnten, aber in Euklids ¹) Elementen ²) sind mehrere Aufgaben gelöst, welche bei algebraischer Behandlung auf algebraische Gleichungen führen.
Des Diophantus Arithmetik, welche, wie er selbst in der Einleitung zu diesem Werke sagt und wie der Titel:„IIPoßxnbäe, Ʒ³μεννι ⅜ν. I.“ es angiebt, in 13 Bücher geteilt war, von denen aber nur 6 auf uns gekommen sind, enthält Aufgaben, aus welchen man auf seine Kenntnis der quadratischen Gleichungen schliessen kann. So sind z. B. die Aufgaben 28— 42 ³) des ersten Buchtes bestimmte Aufgaben zweiten Grades. In allen diesen Aufgaben hat man zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten, doch bietet bei ihnen die Zurückführung auf eine Unbekannte keine Schwierigkeit, wodurch oft auch die Aufgabe auf den ersten Grad reduciert wird.
Im zweiten Buche sind unter andern folgende Ausdrücke zu Quadraten zu machen:
A* und„2; er æ und a„, (c-σ und(-p) y. Im dritten Buche werden diese Forderungen auf drei unbestimmte Grössen ausgedehnt. Das vierte Buch enthält Aufgaben folgender Art, es soll „+‿a= p, aber auch æν‿‿ a= 9„, 2 a= und a f=), 23+ 22 gleich einer Kubikzahl und„½+. 2² eine Quadratzahl sein.
Das sechste Buch endlich enthält 27 Aufgaben in Beziehung auf das rechtwinklige Dreieck oder auf drei Zahlen, für welche 2—+☚˖ 9 2= 22 ist.
Bei allen diesen Aufgaben ist wohl zu berücksichtigen, dass Diophantus nie die Bedingung macht, dass die gefundenen Werte ganze Zahlen sein sollen; er verlangt nur positive rationale Zahlen.
Was also heute diophantische Analytik genannt zu werden pflegt, was man heute als diophantische
¹) Euklid lebte 300 Jahre vor Christi Geburt zu Alexandria und stand daselbst einer mathematischen Schule vor. ²) Eukl. Elem. lib. VI. prop. 27. 28. 29. ³) cf. Die Geschichte der reinen Mathematik u. s. W. von Arneth S. 126. 199.