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M= sin 2+ 2 c0s. n cos.(n— m) ſoos. m+ 11 = 4 sin.& cos.2+ 4 0.2 ½ m[cos²(n—)— sin. 2] = 4 c0s. 2(n—) cos.2 E m also 2M= 2 cos.(n— 1) cos. 2 m, und N= sin.= †£‿ 2 cos. n cos.(n— m) ſcos m— 1] = 4 sin. 2 n cο⁸. 2 1 Q— 4 sin. 2 1)[cos.2(n— X)— sin. 2] = 4 sin.2(— 1) sin. 2 † 1 also N= 2 sin.(n— 1 ſ) sin. m.

2. Ausserdem ist ᷑=— 2 sin.(n— m1) cos. n+ sin. m 2 cos. 1— 1³ 1 . 3. =ee e[2 sin.(n— 1Q) cos.(n— 1)— 2 sin. 1m cos. I+ sin. m] a sin.(n— m) cos.(n— 1) 1 cos. n. k a cos.(n/— 4 folglich wird die halbe grosse Axe a=—===. 5— 1m)= a Plang. n+ colg. x m] VN 2 sin. m cos.

.—1 und die halbe kleine Axe 3=—= A Sen.[a.=1 2) 10)= xa tang. n— tang. I] VM 2 cos. x cοσs. n

Die geometrische Bedeutung dieser Werthe kann an Fig. 2, welche der Annahme 5=

entspricht, nachgesehen werden. Es ist hier die halbe grosse Axe AM(Halbi-

2 cos. n

rungslinie des W. BAC) gleich Mu+ Au= a lang. n+ a cotang. 1, AN dagegen als halbe kleine Axe ist genommen gleich Ma— Au= a lang. n— X a cofg. m, da das Dreieck AuP gleichschenklig ist und tang. m mit colg. Im zusammenfällt.— Uebrigens ſindet in diesem ganz speciellen Falle, da m= 900, also lang. ½= 1, und n= 60 ˙, also lang. V3 ist, der interessante Umstand Statt, dass a x B= I ar*((g. 2/— 19. 2 0)

= 1 a*, dass also das Rechteck aus den Linien AM und NN’' dem über AB beschriebenen Quadrate gleich ist.—— 4

An die im Vorhergehenden gewonnenen, allgemeineren oder auf besondere Fälle sich beziehenden Resultate schliessen sich nun zwar noch verschiedene andere Fragen an, in Be- treff des Parameters, der Excentricität u. s. w. so wie über die Bedingungen, wann die grosse Axe der Ellipse zwischen die Schenkel des Winkels m und wann ausserhalb falle, wir können uns jedoch mit deren Erörterung hier weiter nicht befassen. Zum Beschluss möge daher nur noch folgende Bemerkung Raum finden.

In allen Figuren(Fig. 3. 4. 5. 6. 7.) befand sich der bewegliche Endpunkt ursprüng- lich in G, und die Bewegung war eigentlich vollendet, sobald die Linie RP(a) in die Lage AC gelangte, sobald also der Bogen GMK beschrieben war. Wenn aber nun die bewegliche Gerade a in den Nebenwinkel von BAC(m), nemlich in den W. CAB gebracht wurde, so dass der W. n allmählig in die Lagen RP'M, S'ON' und BAG kam, so beschrieb der