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Endpunkt des Schenkels b einen andern elliptischen Bogen von K bis G'’, und dieser er- gänzte den erst beschriebenen überall zu einer halben Ellipse GG’. Der analytische Beweiss dieser Behauptung ist leicht zu führen. Denn wendet man die Gleichung(5) auf diese Be- wegung im Nebenwinkel an, lässt man nemlich den W. CAB’ an die Stelle von m treten, und bedenkt, dass an die Stelle von n, sobald vorher der W. RPM ein überstumpfer war, wie in Fig. 5, jetzt ein concaver tritt, und dass umgekehrt in der Fig. 3. 4. 6. der Win- kel RPM jetzt als convex zu betrachten ist, d. h. setzt man in der Gleichung(5) für m einen Winkel=(180— 2m)

und für/...=(360— n)

also für(n— m) die Differenz[180—(n— m)] so ergiebt sich offenbar als Gleichung zwischen den in Bezug auf die Linie AC genom- menen rechtwinkligen Coordinaten, für den Bogen GMK

3 A e a.„ 2„ ,2 sin. 2 m. 2. 2, sin. m cos.(n— m). 9+ 1z+ 2 2 sin. m sin.(n— m)+ sin. 2 m ly ²

— la sin.(n— m)+† b sin. m]1 0(155 welche nur in dem Vorzeichen des zweiten Gliedes von(5) abweicht. Man wird sich aber erinnern, dass in der ursprünglich für die Curve GMK gefundenen Gl.(4) eben jenes Glied mit einem unbestimmten Vorzeichen behaftet war, und dass jene Unbestimmtheit erst aufge- hoben wurde, indem wir festsetzten, es sollten die auf die Seite des W. m fallenden Ordi- naten als positiv betrachtet werden. In Gemässheit dieser Bestimmung sind nun die der Linie KM G' zugcehörigen positiven Ordinaten, da jetzt der Nebenwinkel BAC an die Stelle von m getreten ist, auf der Seite dieses letztgenannten Winkels anzunchmen. Wenn wir daher die nemlichen Schlüsse, durch welche wir von(4) zu(5) gelangt sind, unter der Voraussetzung wiederholen wollten, dass von den der Curve GMK zugchörigen Ordi- naten„ diejenigen als positiv angesehen werden sollten, welche auf die Seite des Neben- winkels BAC fallen, oder wenn wir ohne Weiteres, um den Ordinaten(+ 9) dieselbe Lage als den der Curve KM'G zugchörigen(+ v anzuweisen, in der Gl.(5)(— 9) anstatt (+ 9) schreiben; so erhalten wir als Gleichung für die Ellipse, von welcher der Bogen GlK ein Stück ist,

2 sin. 2 m.+( 2 7 sin. m cos.(a— m)+ I+ 9 2 sin. m sin.(n—)+ sin.“ I9 ke= O

und die beiden Ausdrücke, welche sich hieraus für g ergeben und von denen der eine im Allgemeinen einen positiven und der andere einen negativen Werth liefern wird, stimmen mit denjenigen, welche man aus(15) für g' erhält, sowohl in ihrer Form, als in Rück- sicht auf die Bedeutung der Grössen a, b, m, n und die Richtung der als positiv zu be- trachtenden Coordinaten vollkommen überein, woraus folgt, dass die Bogen GMK und KM’”G. einer und derselben Linie angehören. Es stellt übrigens, wie man sieht, der ganze Bo- gen GKG eine halbe Ellipse dar, weil sobald der W. BAG= n, er mag nun kleiner oder grösser als 180° sein, so weit herumgedreht ist, dass der Punkt B in B liegt, jedes- 3