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Aus den Formeln(10) geht hervor, dass die beiden Coefficienten M und N einander gleich werden, dass also die entstandene Curve ein Kreis sein wird, sobald

22+ 4 a6 sin. m sin(n— m)+ 4 b2 gin. 2 m= 0—(13) ist. Da nun hier der Natur der Sache nach in keinem Falle den Grössen a, 5, sin. m, aber wohl sin.(n— m) ein negativer Werth zukommen kann, so ist diese Bedingungsgleichung

in Bezug auf den W. n aufzulösen. Man erhält, wenn für einen Augenblick der Bruch a²+ 4 5b2 sin. 2 mm

4 ab sin.

durch O vorgestellt wird,

sin.(u— m)= sin. n cos. m— cos. n sin. m=— 0 d. h. cos. sin. m— cos. m VI— 108.2„= 0 c0s.2 m(1— c°s. 2 n)= O2— 2 cos. n sin. m+ c0s. 2 n sin. 2 m — cos. n+ 2 O cos. n sin. m= 0 2— cs. 2 m also cos.2/— 2 O cos. n sin. m+.ᷓ O sin.2 m= c0s.2 m(1— 0²2) oder, weil Vi—O VI6 2 5 sin. 2m a. 16 5 sin. m Sa= b= sin. m= V(a*— 46 gin. 227) 2 ist, 4 6 sin. m 4 a6 sin. m a2+ 4 52 eee 4 75 sin. 2 m— cos. e.— 1Q 4 G colg. m V— 1 .... a Dieser Werth für cos. wird reell, sobald a= 2 5 sin. m, also sin. m= 27 ist, weil dann der imaginäre Bestandtheil hinwegfällt. Für diese Annahme wird aber(a*+‿ 4 52 sin. 2)

— 2 42, also

cos. n/= 5= Sin. m(14)

Hieraus erkennt man deutlich die Eeziehungen, in welchen die vier constanten Grössen

a, b, m, n zu einander stehen müssen, wenn die erzeugte Linie ein Kreis sein soll. Es

können nemlich Zwei derselben, z. B. 5b und m, oder a und bh' beliebig angenommen werden,

nur darf 2 6 nicht kleiner als a sein; die Winkel und a müssen aber so beschaffen sein, X

1(2.... dass der Bruch 2 7 den Sinus des ersteren und zugleich den Cosinus des letzteren angiebt.

Wenn daher der spitze Winkel, dessen Sinus a ist, durch bezeichnet wird, so las-

2 6 sen sich überhaupt folgende vier Fälle denken, in welchen sin.= cos. n ist: entweder m=& n=(— p) also cos.=+ sin. n, 2 2(Ʒ+. u) cos. m=— sSin. n, oder mn=(— Hl) n=( τ—) cos. m=— Sin. n, m=(— u) n=(+ u) cos. m=+ sin. n.

Im ersten und letzten dieser Fälle verwandelt sich die Summe auf der linken Seite der

4(2—„ 2 5 4 setzt,

.. 2 3 Gleichung(13), wenn man sin. m= 8= 2 5, und cos.=+ sin. 2=+

wegen sin.(ã— m)= sin. n cos. m— sin. m cos. n, in