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Eine leichte Rechnung giebt nun aus der Formel(8) den Werth für cos. 2+=
1 und daraus lassen sich wieder die Grössen sin. 2 P, sin. ℳe= 1— oos. 2 X
vI X tanp. 2 5. und cos. 2= 1+ 9 2 P
Ausdrücke in die Coefficienten von 9 2 und in der Gleichung(7) substituirt, so erhält man, da diese Coefficienten in(6) durch M und N vorgestellt worden sind, aν+‿ 2 ab sin. m sin.(n-m)+. 2 b2 sin. m ‿ a Va+ 4 ab sin. m sin.(n——- m)+. 4 52sin. Im 2 5b2 a2+˖ 2 a5 sin. m sin.(n—m)+ 2 5b sin. 2 m a Va+ 4 ab sin. m sin.(n— m)+ 4 52 gin. 2m 2 5: Noch kürzer gelangt man jedoch zu diesen Werthen, wenn man die in der analytischen Geometrie entwickelten Formeln Nerch h eNAe Chene = 1 A+ CO— X= G) zu Grunde legt, worin msich die Grössen A, B, C auf die allgemeine Gleichung des zwei- ten Grades 2+ Bæy+ C æ+† Dy+ Eæ+ F= 0 beziehen. Es ist neAlch„wie sich aus der Vergleichung mit(5) ergiebt, in unserm Falle C= sin.2 m
durch a, 5, m ,n ausdrücken. Werden die so gefundenen
M=
10)
1
2 B=— 2/, sin. m cos.(n— m)
a2+ 2 a5 sin. m sin.(n— m)+ 52 gin. 2 m
A= 2
also VA— C)*+ B*= 2 Vat+ 4 as b sin. m sin.(n— m)+ 4 a b2 sin. 2 m Die Formeln(10) liefern 5 M und N durchaus reelle Werthe, denn von allen darin verwebten Grössen kann man den Grundbedingungen unserer Aufgabe zu Folge nur sin. (n— m) einen negativen Werth beilegen, aber selbst dann, wenn diese Grösse das nega- tive Maximum(— 1) erreicht hat, bleibt die Summe der beiden Quadrate unter dem Wur- zclzeichen, nemlich aα+‿(2 b sin. m) grösser als das Produkt— 4 a b sin. m, weil all- gemein p*+ 7*= ʒ2 pa ist. Es sind aber überdiess sowohl M als N positiv, denn die so eben gemachte Bemerkung gilt auch für die im Zähler vom Wurzelzeichen befreite Summe(+ 2 ab sin. m sin.(n— m)+ 52 sin. 2 m)+ 52 sin.2 m, der ganze Zähler von N ist aber positiv aus dem Grunde, weil offenbar(a²+ 2 ab sin. m sin.(n— m) + 2 5 sin.² m)“ grösser ist als das Quadrat des irrationalen Bestandtheils a-(a+ 4 sin. m sin.(n— m)+ 4 5b2 sin.2 m), nemlich um die in allen Fällen positive Differenz 4 a2² 52 sin.² m sin. 2(n— m)+ 4 54 sin.4 m+ 8 abs sin.3 mn sin.(n— m) = 4 52² gin.2 m[as sin. 2(n— m)+ 52² sin.2 m+† 2 ab sin. m sin.(n— m)] = 4 52 ki sin. m 8