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Hieraus ergeben sich sofort, insbesondere für die früher betrachteten, einfacheren Fälle, die Folgerungen:
— 2 sin. n D wenn a= 5, m= 900, ist, tang. 2 ND= 1=— 2, also sobald n= 602 41. V i2„ 4 genommen wird, lang. 2 N= 26 0¹œ, und=+ 450, d. h. die eine Axe des Ke-
gelschnitts in Fig. 2 ist die Halbirungslinie AD des rechten Winkels BAC, und die andere Axe NN’ steht senkrecht auf dieser ersten.
II) Wenn m= 900, n= 180° genommen wird, ist tg. 2 N= 0, also N= 0 oder „= 900, d. h. die Linien AK und AG' in Fig. 1 sind selbst die beiden Axen der Ellipse.
III) Es wird aber überhaupt(g. 2 N= 0, sobald(n— m)= 900 ist; dann also ist der Schenkel AC, oder ein Perpendikel auf denselben im Punkte A, die eigentliche Haupt- axe des Kegelschnitts, wie in Fig. 4.
IV) Dagegen für(n— m)= 0, d. h. für a= m wird(g. 2 P.= 22 Sn 2 22 nach welcher Formel der Winkel P leicht construirt werden kann.
V) Es lässt sich auch aus(8) umgekehrt für jede beliebige Lage der Hauptaxe eines der anderen Elemente bestimmen, z. B. wenn a, m, n und P beliebig gegeben sind, die Länge des Schenkels bhPb berechnen u. s. Ww. wobei wir jedoch nicht verweilen können.
Ferner erhält man aus dem für tang. 2 P in(8) gefundenem Werthe nach der Formel
tang.=— coot. 2+ VI+ wW0.2 2 den Ausdruck:
a+ 2 5 sin. m sin.(— m) Va+ 4 ab sin. n sin.(n-m)+ 462 gin. 2 1(9) 2 5 sin. m cos.(u—)— 2 b sin. m cos.(n— 2n)
wo, um die Tangente des als positiv und zugleich als spitz angenommenen W. Pr zu er-
halten, die Wurzelgrösse mit dem Vorzeichen(+) zu nehmen ist, da die Summe unter
tang. N=—
dem Wurzelzeichen mit Ausnahme des schon besprochenen Falles(n— m0)= 990° immer grösser ist als das Quadrat des rationalen Bestandtheils, nemlich grösser als(a+ 4 ah sin. m sin.(n— m)+ 1 52 sin.2 m sin.2(— an)), während jener Ausdruck, wenn man die
Wurzelgrösse negativ nimmt, die Tangente des als negativ zu betrachtenden d. h. auf die Seite des Nebenwinkels CAB fallenden Winkels Pe angiebt, welcher den ersteren Jr zu 90° ergänzt*), und die Luge der andern Axe des erzeugten Kogelschnitts bestimmt.
*) Dass diese zwei Winkel wr und waz, wenn man sie ohne Rücksicht auf ihre entgegengesetzten
Vorzeichen hetrachtet, sich zu 900 ergänzen, oder dass im algebraischen Sinne w+(— vz)= 2 sej, folgt aus der vorangestellten trznsmeterashen Formel, da das Produkt von — cot. 2+ v1+ cot.* 2 7 und— cot. 42— vI+ w00.2 2 2 gleich(— 1), d. h. tang. wr. tang. w2=— 1, oder tang. wr=— cokt.„2= cok.(—) ist.
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