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die ersten p Durchschnittspunkte in gleicher Höhe liegen. Etwas tiefer wird sich eine zweite, dann eine dritte u. s. w. Reihe von Durchschnittspunkten befinden. Was die Anzahl dieser Reihen betrifft, so geht aus der Gleichmässigkeit der Bewegung hervor, dass zu beiden Seiten der X F Ebene gleich

viel solcher Reihen liegen müssen. Man wird also in dem Falle, dass ungerade ist, 41 oberhalb

2 und 4— 1 unterhalb der XF Ebene, und in dem Falle, dass q gerade ist, nach Nr. 1 eine Reihe von p Punkten in der XTF Ebene selbst und ausserdem noch 7—2 oberhalb und 5—2 unterhalb zählen

2 2 können. Man hat also im Ganzen:

bei ungerade: 2. 4. 2 1 † p. 42=— p(„— 1).

. 2— 2 bei gerade:„+ p. 1. u+ p.=2= p.(— 1)

Durchschnittspunkte.

Die Gleichung(I.) ist eine transcendente und lässt sich nur in wenigen Fällen in eine algebraische Form bringen. Nämlich einmal, wenn p= 2,——= 1 ist. Man kann dann die erste der beiden Gleichungen umformen in

4re(n⁵— 2**)= 4re(ng= 1) und indem man 4Arc tang auf beiden Seiten weglässt, erhält man mit Rücksicht auf die zweite Gleichung in(I.) folgendes System: e ſe hehe hie hz.(a— 3)— 2a. 9*.

Ferner in allen den Fällen, wo p= 1 ist und q eine beliebige ganze Zahl n bedeutet. Man

hat dann, wenn

Arec(s— 2) ꝙ. also 2= tang(n ꝙ) gesetzt wird:

hz. 32. N— a2* 2 hz 22n. Z2= a2n.„2. worin:. — n(„— 1)(n— 2) n(n- 1).(n— 4) — nt 3 22 123. 1). A84.— 1) 5— 7— an3k.. t 9 l..IrJEI 99 — n(n— 1) n(n— 1)(n— 2)(n— 3)„ — 1— 2. 4—f. N 1.2. e. — und tang— La2= 22...

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