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Die Curve wird nämlich durch die XZ Ebene in zwei gegenbildlich gleiche Hälften getheilt, und da der bewegliche Punkt am Ende von—† Rotationen sich wieder in A befinden soll, von wo er ausgegangen ist, so wird

die Bahn während der ersten Rotation gegenbildlich= der Bahn während der qten Rotation. zweiten„„—„„„ 4—1„ „„„ dritten„„—„„„„ 4—2„ u. s. w. sein. Dabei sind zwei Fälle von einander zu trennen:

*7*) 7**

a) g ungerade. Dann werden die ersten 7.—= 1 Roiationen mit den leizten 4. 51—Rotationen

2 2 je einen Durchschnittspunkt mit der XZ Ebene auf der Seite der— æ gemein haben. Ferner nehmen auf der Seite der+ræ die zweite Rotation mit der qten, die dritte mit der— 18ten..... die

wiederum Durchschnittspunkte gibt. Ausserdem ist der Punkt 4A als ein einzelner Durchschnitts-

punkt anzusehen, und die 4 † d. h. die mittelste Rotation liefert auf der Seite der— æ auch nur

einen einzelnen Durchschnittspunkt, so dass man im Ganzen hat: — 1— 1 1.2* 4+ 1+ 1=, † 1.

b) 7 gerade. Die ersten 4 Rotationen haben mit den letzten& Rotationen Durchschnitts-

2 2 punkte auf der Seite der— æ gemein. Ferner beginnen auf der Seite der+ æ die zweite Rotation mit der qten, die dritte mit der— 18ten......, die 4 4 mit der 1.9 Bten je in demselben

Punkte, was zusammen 9— 1 Durchschnittspunkte liefert. Ausserdem sind hier 4 und B als zwei

2 einzelne Durchschnittspunkte anzusehen, so dass man auch hier im Ganzen hat:

1rG-)r*=e

3. Auch mit der FZ Ebene hat die Curve 29% Durchschnittspunkte. Jedoch reducirt sich hier die Anzahl nur dann auf+ 1, wenn p gerade, q ungerade ist.

Denn in diesem Falle wird die Curve nicht nur durch die XZPEbene in zwei symmetrische Hälften, sondern jede dieser Hälften wird auch durch die vZ Ebene gleichfalls wieder in zwei sym- metrische Hälften getheilt, weil wir hier, wo p= 2m ist, ein Vierfaches von einfachen Schwingungen haben, die sich auf die vier Quadranten gleichmässig vertheilen. Da also dann im ersten und zweiten Quadranten, resp. im dritten und vierten, je zwei symmetrisch liegende Curventheile einen gemein- schaftlichen Durchschnittspunkt auf der FZ Ebene haben müssen, So kann man eine ähnliche Betrachtung wie bei Absatz 2. anstellen, welche als Resultat ꝓJ% 1 Durchschnittspunkte liefert.

4. Die Curve schneidet sich selbst jederzeit in p.(— 1) Punkten.

Der Punkt M gelangt bei seiner Bewegung in die Peripherie des oberen Kreises an p verschiedenen Stellen, welche gleich weit von einander entfernt sind, und von welchen je zwei symmetrisch gelegene Curvenäste ausgehen. Es ist klar, dass je zwei von diesen sich schneiden werden und dass