— 6— Die eine umfasst solche Curven, welche auf einer Cylinderfläche liegen, und ihre Gleichungen

erhält man durch Substitution von αα= 2:

0) 4. A rec(= 2)— Arec(— 3) —.α+*„92— n2. Die zur anderen Gattung gehörenden Curven liegen auf einer Kegelfläche, und ihre Gleichungen erhält man, indem man h= o setzt und dabei berücksichtigt, dass

2)=— 2) Are(ns„)= Are(0—*) 2

9ſe 1 1 Are(— 2)— 21= Are( c0— e)

r+„2— 22. cotga.

also:

Von der Curve(I.).

Zunächst dürfte es von Interesse sein, zu wissen, wie viel Durchschnittspunkte die Curven dieser Gattung mit den Coordinatenebenen und mit sich selbst haben. Wir nehmen dabei an, dass m unden nur ganze Zahlen bedeuten, welche keinen gemeinschaftlichen Factor haben, und fangen die Bewegung von dem Momente an, wo sich der Punkt bei der Entfernung HM= a in der XZ. Ebene befindet.

1. Die Anzahl der Durchschnittspunkte mit der XT Ebene hängt lediglich von der Anzahl p der Pendelschwingungen ab und beträgt 2 p. Nur wenn p ungerade, † gerade ist, so fallen je zwei Durchschnittspunkte zusammen, und die Anzahl derselben reducirt sich auf p.

P 2

M sich wieder in der XZ Ebene befinden, von der er ausging, und zwar diesmal im Punkte B, indem wir p ungerade nehmen müssen, weil p und keinen gemeinschaftlichen Factor haben sollen. Bis dahin hat er an p Stellen die XF Ebene durchdringen müssen und beginnt jetzt von Neuem seine Bewegung, nur in entgegengesetzter Richtung. Wie er nun zu Anfang der ersten Hälfte der Bewegung,

Denn, setzen wir à= 2m, so wird nach m Rotationen oder 5 Pendelschwingungen der Punkt

von A absteigend nach ¼ Doppelschwingung, welches gleichbedeutend ist mit 4 7. 360° Drehung, an die Peripherie des Grundkreises gelangt ist, so muss er zu Anfang der zweiten Hälfte der Bewegung, von B aufsteigend nach ½¼ Doppelschwingung oder 11 360° Drehung, nothwendig an dieselbe Stelle gelangen, weil die Bewegung unterhalb des Kreises ganz dieselbe ist, wie oberhalb. Und da er die erste Stelle wiederholt passiren musste, so wird er nun, wie leicht einzusehen, auch die anderen p— 1 Stellen von Neuem passiren müssen.

2. Die Durchschnittspunkte mit der XZ Ebene rühren von den Rotationen her, und ihre Anzahl beträgt 27. Da jedoch(¶— 1) mal je zwei Punkte zusammenfallen, so reducirt sich die Anzahl stets auf—+ 1.