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Ort des Scheitels, wenn der eine Schenkel und die Verlängerung des anderen den gegebenen Kreis berühren.— Das Resultat dieser Untersuchungen ist also: Fallen die beiden Kreise ineinen zusammen, sogiebt der Ort des scheitels eines gegebenen Winkels, dersich so be- wegt, dassseine beiden Schenkel Tangentensind des gegebe- nen Kreises, zwei dem gegebenen Kreise konzentrischekreise. Es bleibt nun nur noch übrig, den Fall zu untersuchen, dass ein rechter Winkel ist. Bei dieser Annahme wird p= 1, d= 0, die Gleichung 28.) geht also über in:

(y 2+ x2+ 2n x— n²)2= 0......... 29.) oder:

(*+† G+ n)*— 2n*)“= 0......... 30.) drückt also zwei kongruente Kreise aus und zwar verhält sich der Radius dieses Kreises zu dem des gegebenen, wie V2: 1.

Es soll gleich hier auf das merkwürdige Resultat hingewiesen werden, dass für 3= R. wie auch die Gleichung des Kegelschnitts sei, ein Kreis als gesuchte Kurve resultiert. Dies wird sofort offenbar, wenn wir in Gleichung 22) kK= ⁶ setzen, dann wird:

[m(v2+† X2)+ 2u x— n2²]*= 0........ 31.)

Diese Gleichung réepräsentiert einen Kreis, der, wie sich durch eine leichte Umformung ergiebt, mit der gegebenen Kurve zweiten Grades konzentrisch ist. Für den Fall der Parabel degene- riert der Kreis in eine Gerade, fur die gleichseitige Hyperbel in einen Punkt.— Für die Ellipse lässt sich der gefundene Satz auch noch leicht auf folgende Weise herleiten:

Bezeichnen wir mit a und e die Konstanten der Ellipse, wo a die grosse Halbaxe e die Extensität bedeutet, und mit à die Normale auf die Tangente, so ist:

32= az²— ez. sin 2 Analog:

814= a?— ez. sin 401 wo und l die Neigungs⸗Winkel der Normalen mit der Axe sind; ist nun)= 900+ so ist sin,= cos, folglich

82+ 3, 2— 2 a:— e“* a:+ be. Konstruiert man die Figur, so ergiebt sich sofort, dass der Radiusvektor der gesuchten Kurve —= 82+ 312² ist, die Kurve ist also ein der Ellipse konzentrischer Kreis, dessen Radius=

VW 2* † be ist, wo a und b die Halbaxen der Ellipse bedeuten.

Dieser Satz gilt auch im Raume und zwar ist der Beweis, wenn er ganz analog wie in der Ebene geführt wird, sehr leicht. Wir fällen die Normalen auf die drei Ebenen des körperlichen Winkels, der mit dem gegebenen Ellipsoid in Kontakt gedacht wird und erhalten,