— 12—

4 2(y2+ 2 2 20.)........(a,— a)?— e

Setzt man diese Werte in die Gleichung 17.) oder in die aus ihr hervorgehende Gleichung: 21.) 6 6.*..* ·**(a— 2) ²— kK 2(1+ 2 a1) ² die die Forderung enthält, dass die behandelten Geraden den gegebenen Winkel einschliessen,

so resultiert:

22.).... 4 4 n2(y2 m †. 21 91 kaſm(2+† X²)+ 20 x— n²]* Dies ist die Gleichung des gesuchten Ortes und, wie sich durch Rechnung ergiebt, identisch mit der Gleichung, die sich aus Gleichung 6.) durch Umformung ergiebt.— Die Gleichung 22.) ist vom vierten Grade, es ergiebt sich also das Resultat, dass die Kurve, die durch den Schei- tel des Winkels gebildet wird, der sich in der geforderten Weise um eine allgemeine Kurve zweiten Grades bewegt, im allgemeinen vom vierten Grade ist. Um die spezielle Aufgabe dieses§ 2 zu lösen, d. h. die Kurve zu bestimmen, die entsteht, wenn die Direktrix ein Kreis ist, müssen wir die Annahme machen:

m— 1. Die Gleichung des gegebenen Kreises ist alsdann: 23.)........ F2 †(X+ n)?²=— n?. Es ergiebt sich alsdann die Gleichung der gesuchten Kurve: 24.)....... 4n2(y2+† x²+ 2n x)= k(y?+ X2+ 2n x— n2²)2.

Um diese Gleichung zur Untersuchung bequem zu machen, setzen wir

— P.„1— An 25.)„....... 4=Z 4 d. h. tg 3= cos

alsdann resultiert, wenn wir zugleich umformen:

26.) pP?y*+ 2[p-(X2+ 2) X— n²)— 2n2 4²] y2 Tp²(X2+ 2n x— n²) 2— 4n2 q*(X2+ 2) x)= 0 aus der sich unter Berücksichtigung der Relation

27.)........ p?+—ꝛ⁷—¼ 1

ergiebt:

P² Die Kurve zerfällt also in diesem Falle in zwei dem gegebenen Kreise konzentrische Kreise.

Der eine Faktor= 0 gesetzt, gibt uns den Ort des Scheitels des gegebenen Winkels, wenn die Schenkel des Winkels 3 selbst den gegebenen Kreis berühren; der zweite Faktor giebt den

(üIren. d.. Ir e)(vihee han- 0=3e.)=