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sich folgende Betrachtungen: Da von den Bestimmungsgleichungen die eine vom zweiten Grade ist, während die andere vom ersten Grade ist, so werden sich im allgemeinen zwei verschiedene reelle Werte von x, und y, ergeben, oder kein reeller, d. h. durch einen Punkt lassen sich an eine Linie zweiten Grades entweder zwei oder keine Tangenten legen.— Hier- aus folgt, dass für unsern Fall die Wurzeln der Gleichung 9) gleich angenommen werden müssen. Damit dies nun stattfinde, muss die Gleichung gelten:

(n+ A b) ²— b2²(m+ a²)— 0.„„.. 14.) oder in andrer Form: m b*²— 2 n 8 b— n2²— 0. ·* ·** ·**—·*** 15.)

Dies ist also die Bedingungsgleichung zwischen den Koeffizienten a und b der Gleichung 8), wenn diese eine Tangente der Kurve 7) ausdrücken soll.

Sind demnach die Gleichungen der beiden die Kurve berührenden Schenkel des gege- benen Winkels

y= ax † b........ 8.) y— a x+ b:....... 16.) so hat man die Bedingungsgleichungen: m b⸗— 2 nab— n²=— o........ 15.) m bi*— 2 n a. b.— n:= 0....... 16 a) und ausserdem: t= 1 Ka.= k........ 17.)

Eliminiert man jetzt b zwischen den Gleichungen 8) und 15) und b. zwischen den Gleichungen 16) und 16a), so erhält man: as(2n+ m XZ2)— 2(m x y+ n y) a+ my?— n= 0 a1²(2n † m XZ)— 2(mx y+ ny) a † my*— n?²= 0 Zwei Gleichungen, welche für a und a, dieselben Ausdrücke ergeben. Da aber a, nicht gleich a sein kann, wenn die Geraden 8) und 16) nicht parallel sind, wie vorausgesetzt wird, oder wenn 3 S O0 und ist, so muss, wenn die eine der beiden Wurzeln der Gleichung 18) für a genommen wird, die andere für a 1 genommen werden.*)

Diese Gleichungen geben nun für das Produkt und das Quadrat der Differenz beider Wurzeln a und a, nach bekannten Regeln:

a. 2 m y2— n2² * 1— m x †. 2n X ·* 2„„ 2 2

*) Diese Betrachtung ist analog der schon oben beim allgemeinen Fall gemachten Bemerkung, dass die Werte der Wurzelgrössen in x, y x. y resp. mit entgegengesetzten Vorzeichen zu nehmen sind.

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