Kapitel II. Die Scheitelpunktskurve der Kegelschnitte.

Die Betrachtungen dieses Abschnitts werden sich mit den Fällen beschäftigen, in denen als Basen zwei Kegelschnitte gegeben sind, zuerst die allgemeine Gleichung der Kurve geben, dann aber auf die verschiedenen speziellen Fälle eingehen.

§ 1. Die Basen der Scheitelpunktskurve sind zwei Kreise.

Zur Vereinfachung der vorliegenden Aufgabe soll der Mittelpunkt des einen Kreises zum Koordinatenanfangspunkt gewählt werden, was unbeschadet der Allgemeinheit der Aufgabe zulässig ist, eine Verschiebung des Koordinatensystems wird, wo nötig, nach Aufstellung der Kurvengleichung statthaben. Bei einzelnen speziellen Betrachtungen, besonders da, wo metrische Verhältnisse vorkommen, wird übrigens die Wahl von Polar-Koordinaten zu bevorzugen sein. Im Allgemeinen werden den Betrachtungen die gewöhnlichen rechtwinkligen Koordinatenzugrunde gelegt werden.

Gegeben seien zwei Kreise durch ihre Gleichungen:

x+ y2= r 1...... 1) (X— a)²+(y— b) 2= r2 ² ⸗..... 2.)*

Die Gleichungen der Tangenten sind alsdann für den Punkt(X, y;) des Kreises 1) und fuür den Punkt(x. ya) des Kreises 2).

G— xI) x.+(— v) S= 0........ 3.)

(— x.) G.— a)+(n.- ya)(2— b)= O0o........ 4) während wir für(X Y4) und(Xz y2), da sie auf den gegebenen Kreisen liegen, die Be- dingungsgleichungen haben

X2 † y 2—= r.*-.. 5.)

(Xz— a)?+(v2— b)?*= ra²....... 6) Ferner muss der Bedingung genügt werden:

VL(Xz a) K==— b) K

Xi(Xz— a)+† G⸗— b)— Aus den fünf Gleichungen 3) bis 7) müssen nun X. X2 YI Y2 eliminiert werden, damit wir die Gleichung der Kurve in? n erhalten. Es ergeben sich zunächst für die vier Grössen folgende Werte:

...... 7)

*) Hier liesse sich, ebenfalls ohne Beeinträchtigung der Allgemeinheit, noch die Vereinfachung anbringen, dass a oder b gleich O angenommen würde, da wir ja die eine Koordinatenaxe durch den Mittelpunkt des zweiten Kreises legen können. Doch soll von dieser Annahme abgesehen werden, da sich ohne dieselbe die Formeln symmetrischer gestalten werden.