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Aber auch mit der Annahme, dass der erzeugende Winkel eine beliebige Grösse habe, tritt das Problem noch nicht in seiner vollen Allgemeinheit auf. Diese wird erst gewahrt, wenn wir die Autfgabe in folgender Fassung stellen:
Es soll der geometrische Ort des Scheitels eines belie- bigen, aber festen Winkels bestimmt werden, wenn sich dieser Winkelso bewegt, dassseine beiden Schenkel in Kon- takt(Tangenten) bleiben mitzwei gegebenen Kurven.
In den folgenden Ausführungen soll die Kurve, die aus dieser Aufgabe resultiert, den Namen Scheitelpunktskurve führen.
Die unter dem Namen Fusspunktskurve bekannte Kurve entspricht dann den besonde- ren Annahmen, dass
1) der erzeugende Winkel ein rechter ist, und dass 2) die eine der beiden Kurven sich auf einen Punkt konzentriert.
Es ist oben gesagt worden, dass die gegebene Formulierung der Aufgabe volle Allge- meinheit gewähre. In der That können wir zwar noch die folgenden weiteren Betrachtungen anstellen, aber es wird sich zeigen, dass wir bei der Lösung der Aufgabe immer der Lösung der obigen Aufgabe gewissermassen als Grundaufgabe bedürfen. Nehmen wir nämlich an, dass der Scheitel des Winkels nicht selbst der erzeugende Punkt der Kurve sei, sondern setzen voraus, es sei uns ferner eine Kurve gegeben, die mit dem Scheitelpunkt des Winkels durch ein gewisses durch eine Gleichung gegebenes Gesetz zusammenhänge, so würde schliesslich eine Kurve resultieren, die die Enveloppe aller der Kurven sein würde, die in der gegebenen Ab- hängigkeit vom Scheitelpunkt sein würden. Man erkennt, dass zur Darstellung dieser Kurve immer erst die Darstellung der Scheitelpunktskurve erforderlich ist, die ja den Ort bilden würde für die Punkte, von denen die weiter gegebenen Kurven nach dem bestimmten Ge- setz abhängen.
Nachdem wir nun unsere Aufgabe formuliert haben, wird es sich zunächst darum han- deln, sie analytisch-geometrisch zu bestimmen.
Es seien uns in der Ebene zwei Kurven gegeben durch ihre Gleichungen
1.)........ FG, y)= 0. 2.).......—.(X, y)— 0. Die Gleichungen der Tangenten werden dann respektive sein: 0 F 0 F
2————= o. 3.).„... 2f( X) x,+(„7 J1) Fy,
„ 0 ⸗(£ꝗ——%— 4.)........(— X) 57, 1.(a- J) Fy.= 0.
Da nun diese Gleichungen der Tangenten für die bestimmten Punkte(¼, y) respek- tive(X vyz) gelten, deren Koordinaten in der Gleichung der gesuchten Kurve nicht vorkommen durfen, so ist zu beachten, dass diese Punkte auf den gegebenen Kurven liegen, ihre Koordi- naten also deren Gleichungen erfüllen. Es ergiebt sich also: