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Es ergiebt ſich hieraus der bemerkenswerte Satz: Der Abſchnitt der Tangente zwiſchen den Axen hat einen konſtanten Wert und zwar iſt er gleich dem Radius des feſten Kreiſes.

Ohne hier noch einmal auf die bei der Kurve auftretenden, möglichen ein⸗ und umbeſchriebenen Polygone einzugehen, weiſe ich in Bezug darauf auf das oben bei Unterſuchung der dreieckigen Hypo⸗ cykloide Geſagte zurück. Nur das mag erwähnt werden, daß die Polygone dem Charakter der Kurve entſprechend hier regelmäßige Vierecke ſind, während wir ſie oben als gleichſeitige Dreiecke erkannten.

§. 2.. Die Bedingung für die Rückkehrpunkte iſt für die viereckige Hypocykloide die gleichzeitige Gültigkeit coς φhlt. sin q= 0 sin ꝙ. cos= 0.

Dieſe Bedingungen werden erfüllt für%= 0;= 3. q=; G= 2. Die Koordinaten dieſer

Punkte ſind: 1)= 47;„= 0. 2) x—= 0; 7= 42. 3)— 47.„— 0.

4) x— 0;„ ä=— 4r. Die Gleichungen der Tangenten in dieſen Spitzen ergeben ſich in den Punkten 1) und 3) als die Xaxe, in den Punkten 2) und 4) als die VYaxe. Die vier Punkte genügen der Gleichung des Kreiſes: a2+„= 16 7¹.

Eine der viereckigen Hypocykloide ſehr ähnliche Figur erhalten wir in der Evolute der Ellipſe. Auch dieſe beſitzt vier Spitzen, von denen zwei auf der X axe, zwei auf der Vaxe, und zwar ſymmetriſch gegen den Anfangspunkt reſp. Mittelpunkt der Ellipſe liegen.

Die Simultangleichungen der Ellipſenevolute ſind, für die Ellipſe

T 7 . 5 5= x=.. cos;=— 6 sind ϑ und ihre Gleichung ſelbſt & N. 2 () Gh= 142— 52 wo.—— 2 7 2 4=—; 2 iſt

Man ſieht, daß auch die Gleichungen eine große Ähnlichkeit beſitzen. Die Gleichung der Tangente an unſere Kurve iſt, mit den Hilfsmitteln der Differentialrechnung

berechnet: æ. sin&+ 9. cos f= 27. sin 29, ſtimmt alſo mit der Gleichung der erzeugenden Graden überein. Als Gleichung der Normalen erhalten wir: T. cos&— p. sin= 4r. cos 2 p.