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Kapitel II. Die viereckige Hypocykloide.
§. 1. Bei weitem einfacher ſtellt ſich die andere Art der Hypocykloide dar, die den zweiten Gegenſtand der vorliegenden Unterſuchung bildet, die viereckige Hypocykloide(ſ. Figur 7.)
Auch ſie läßt ſich noch auf andere Art erzeugen als durch Rollen. Laſſen wir bei rechtwinkligen Koordinaten eine Gerade ſich ſo bewegeu, daß die Endpunkte eines begrenzten Stückes auf den Axen des Syſtems hinlaufen, ſo iſt die Enveloppe dieſer Geraden die viereckige Hypocykloide, während der Ort des Mittelpunktes der Strecke ein Kreis iſt, der der Hypocykloide eingeſchrieben iſt. Seine Gleichung iſt
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Jeder andere Punkt der Strecke beſchreibt eine Ellipſe. Die unendliche Schaar der Ellipſen für ſämmt⸗ liche Punkte der Strecke wird eingehüllt von der Hypocykloide. Der Mittelpunkt als beſchreibender Punkt der Ellipſe bildet alſo den einen Spezialfall der Ellipſe, in dem ſie in einen Kreis übergeht, die beiden Endpunkte, die beiden Fälle, in denen die Ellipſe in eine Gerade degeneriert. Dieſe beiden Geraden ſind die Axen des Syſtems. Entſtanden können wir uns die Ellipſen auch noch auf folgende Art denken. Ein Kreis rollt in einem andern, deſſen Radius das Doppelte von dem ſeinigen iſt. Jeder Punkt der Peripherie des rollenden Kreiſes beſchreibt alsdann eine Gerade, die durch den Mittelpunkt des feſten Kreiſes geht, während jeder innere Punkt eine Ellipſe beſchreibt. 1
Wir gehen nun dazu über, die Gleichung der Enveloppe aufzuſtellen. Die Gleichung der Linie iſt:
„— 8. 55 64= 1(ſ. Figur 8), wo 0B. C08 G
— 04= I. sin ꝙ. Die Gleichung der Linie iſt alſo:
æ. sin&+ cos= 21. sin 2 G
Durch Differentiation und Berechnung des Durchſchnittspunktes ergeben ſich die Simultangleichungen der Kurve X=. Gos 9 ö=. S45, f folglich die Gleichung der Kurve ſelbſt Zu derſelben Gleichung gelangen wir, wenn wir in der allgemeinen Gleichung der Hypocykloide a= 4 ſetzen; die Gleichung der viereckigen Hypocykloide iſt alsdann: Die Länge der einhüllenden Strecke iſt alſo gleich dem Radius des feſten Kreiſes.