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mit Hülfe eines feſten rechten Winkels an die Hand.— Es ſei bei unſerer Kurve der Anfangspunkt als Pol angenommen und unſere Aufgabe die zugehörige Pedalkurve zu berechnen. Die Gleichung einer Normalen durch den Anfangspunkt iſt

„=— Tr. E= E. cot=& cot„,

oder=„. Ig p; die Gleichung der Tangente iſt æ. sin qO+. 08"é ä= T. sin 3 p. Durch Vereinigung der beiden Gleichungen erhalten wir: r= r. sin 3. sin» „)y= r. sin 3. cos als Simultangleichungen der Pedalkurve, deren Gleichung durch Elimination von oô ſich ergiebt als:

2 (— r²)=—(9 71— 16 a.

Die Kurve geht folglich durch den Anfangspunkt. Aus ihrer Entſtehungsart durch Bewegung eines rechten Winkels geht außerdem hervor, daß ſie die Hypocykloide in den drei Scheiteln berührt und daß der Koordinatenanfangspunkt ein dreifacher Punkt iſt, da ſich für jede Spitze der Scheitel des rechten Winkels in dem Anfangspunkt befindet. Die Pedalkurve beſteht alſo aus drei Schleifen. Die drei Rückkehrtangenten der Hypocykloide, die ſich, wie wir geſehen, im Anfangspunkt ſchneiden, bilden dort drei ſich ſchneidende Tangenten der Pedalkurve(ſ. Figur 6).

Die Länge eines Bogens des Kurvendreiecks finden wir aus der Gleichung:

ds= dri+ d*

ſa— 47 ſeig. dꝙf woraus ſich durch Umformung:

ſa=ſene Ar

ergiebt. Dies Integral iſt zwiſchen den Grenzen o und zu nehmen. Wir erhalten ſo

Für unſere Kurve ergiebt ſich:

71 G ds= r 0 folglich für die Länge der Hypocykloide ſelbſt = 162 Unter Anwendung der Polarkoordinaten finden wir leicht den Inhalt der Hypocykloide I= 2 7⁷

Derſelbe beträgt alſo das Doppelte des der Kurve einbeſchriebenen Kreiſes.(Bei der Annahme der früheren Erzeugungsweiſe beträgt alſo der Inhalt der Hypocykloide das Doppelte des Feuerbach'ſchen Kreiſes, iſt folglich gleich der Hälfte des dem Urdreieck umbeſchriebenen Kreiſes.) Jede Arbele iſt dem⸗

nach= † 71.