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Dieſe beiden Gleichungen, welche uns alſo für jedes beſtimmte c den Mittelpunkt des reſp. Krümmungskreiſes liefern, geben uns für das variable den Ort der Krümmungsmittelpunkte. Dieſer iſt aber die Evolute der Kurve; die Gleichungen repräſentieren alſo zugleich die Simultangleichungen der Evolute. Daß dieſelbe jedenfalls eine der urſprünglichen Kurve ähnliche Kurve ſein wird, geht ſchon aus dieſen Gleichungen hervor, tritt aber in Evidenz, wenn wir eine Koordinatentransformation vornehmen.

Zu dem Zwecke wenden wir folgende Transformationsformeln an:

r= 8. cos—„. S „= S. sin+„. 29

in denen 9 den Wert 3 beſitt, ſo daß wir auch für: 7+ g ſetzen müſſen. Unter dieſen Voraus⸗ ſetzungen gehen die euudenen Gleichungen der Evolute über in de folgenden:

F—= 2 a cos X+ a(os 27 „= 2a. sin ⸗— a. sin 2

alſo vollſtändig analoge Gleichungen wie die der Evolvente. Alles alſo, was für dieſe als geltend bewieſen war, gilt auch für jene. Die Gleichungen zeigen aber, daß der feſte und der rollende Kreis für Erzeugung der Evolute dreimal ſo große Radien haben müſſen als die die Evolvente erzeugenden

Kreiſe. Die Evolute liegt auch um 3 gegen das Axenſyſtem gedreht, ſo daß ihre Scheitel in den Rück⸗

kehrpunkten der Evolvente liegen.

Wir könnten nun die zweite, dritte u. 11 f. Evolute bilden, die alle wiederum dreieckige Hypo⸗ cykloiden ſein werden und zwar werden immer die erſte, dritte ꝛc. und die zweite, vierte ꝛc. ähnlich liegen, während das Verhältnis zwiſchen den Radien der Evoluten den konſtanten Wert 2= 3 beſitzt. Andrer⸗ ſeits können wir aber auch die urſprüngliche Kurve als Evolute anſehen und die Evolvente derſelben bilden, auch dieſe wird wieder eine dreieckige Hypocykloide ſein und auch hier läßt ſich die Operation in infinitum ausdehnen, während das Verhältnis der Radien hier das reciproke iſt, wie im anderen Falle.

Unter den vielen Formeln, die es zur Berechnung des Krümmungsradius giebt*), ſoll hier die⸗ jenige den Vorzug haben, die nach vorausgegangener Berechnung des Krümmungsmittelpunktes ſich als die einfachſte darſtellt

= G= 8“+) v) wo(x) die Koordinaten der Evolventenpunkte,(')) diejenigen der Evolute bedeuten. Es ergiebt ſich

durch Ausrechnung: N= 87. sin 12= 81. Sin 3

Für die verſchiedenen merkwürdigen Punkte, die Spitzen und Scheitel der Kurve ergeben ſich folgende Spezialwerte von R: für die drei Spitzen iſt= 0, für die drei Scheitel N=

Fällt man von irgend einem Punkte der Ebene der Kurve Perpendikel auf ihre ſämmtlichen Tangenten, ſo werden die Fußpunkte dieſer Perpendikel eine neue Kurve bilden, deren Form von der der erſten abhängt und die die Fußpunktskurve oder Pedalkurve der betreffenden Kurve in Beziehung auf den Punkt als Pol heißt. Die Pedalkurve können wir auch definiren als den Ort des Scheitels eines rechten Winkels, deſſen einer Schenkel durch einen feſten Punkt geht, während der andere Tangente an die gegebene Kurve bleibt.— Dieſe Definition giebt zugleich eine ſehr einfache Konſtruktion der Pedalkurve

*) Salmon⸗Fiedler, H. C. Art. 100— 102, giebt ſchon drei verſchiedene Formeln.