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Die beiden bei Entſtehung der Kurve in Betracht kommenden Winkel verhalten ſich umgekehrt wie die Radien der Kreiſe, in denen ſie Centriwinkel ſind.

Aus den Simultangleichungen der Kurve erhalten wir durch Elimination von 9 die Gleichung der Kurve ſelbſt, die nicht unter allen Umſtänden transſcendent iſt. Denn ſobald das Verhältnis zwiſchen den Umfängen reſp. Radien der beiden Kreiſe einen rationalen angebbaren Wert hat, kommt der erzeugende Punkt nach einer gewiſſen Anzahl von Umdrehungen in ſeine Anfangslage zurück und die Kurve iſt geſchloſſen oder von endlicher Ordnung, alſo algebraiſch; ſind dagegen die beiden Kreiſe nicht kommenſu⸗ rabel, ſo kommt der erzeugende Punkt nach keiner endlichen Anzahl von Umdrehungen in ſeine Anfangs⸗ lage zurück und die Kurve iſt transſcendent. 3

Was die Tangente der Kurve anlangt, ſo möge hier ein Satz ſeine Stelle finden, der ſich ganz allgemein auf Rollkurven bezieht und ſich direkt aus der elementaren Betrachtung unendlich kleiner Größen ergiebt. Sieht man nämlich ſowohl die Baſiskurve, wie die rollende Kurve, als Polygone von unendlich kleinen, unendlich vielen Seiten an, ſo beſchreibt die Marke in jedem Augenblicke einen unendlich kleinen Kreisbogen, deſſen Mittelpunkt im Berührungspunkte liegt. Denkt man ſich dieſen unendlich kleinen Kreisbogen gradlinig nach beiden Seiten verlängert, ſo repräſentiert die entſtehende Gerade die Tangente im betrachteten Punkte. Sie ſteht ſenkrecht auf der Verbindungslinie von Marke und Berührungspunkt. Es ergiebt ſich alſo aus dieſer Betrachtung der wichtige Satz: Bei jeder Rollkurve ſteht die Tangente ſenkrecht gegen die Linie, welche vom betrachteten Punkte nach dem Berührungspunkte hinläuft. Dieſe Verbindungslinie iſt alſo die Normale der Kurve d. h. die Normale der Rollkurve geht für jeden Punkt durch den zugehörigen Berührungspunkt der erzeugenden Kurven.

§. 7.

Aus den allgemeinen Gleichungen der Hypocykloide gelangen wir nun zu denen der dreieckigen, wenn wir= 39 ſetzen.

Für dieſen Wert von a gehen die Gleichungen über in:

7= 21. G+ r. cos 2 G „yä= 2 7.. sin— r. sin 2 c. Die Gleichung der Kurve reſultiert aus der in dieſem Falle möglichen Elimination von 9, als: (*+ 9*)“+ 8ra.(3—)+ 18 71(+„*)— 271= 0. . Schon Euler hat nachgewieſen, daß dieſelbe Hypocykloide auf zwei Arten erzeugt werden kann, d. h. für zwei verſchiedene Werte des Radius des rollenden Kreiſes; dieſe beiden Werte ſind diejenigen, die ſich zum Radius des feſten Kreiſes ſummieren. Der analytiſche Beweis dieſes Satzes iſt leicht*).

Es möge hier noch einmal darauf hingewieſen werden, daß dieſelbe Bedeutung hat, wie in den obigen Ausführungen, da der Radius des rollenden Kreiſes gleich iſt dem Radius des Feuerbach'ſchen Kreiſes, der identiſch iſt mit dem Kreiſe, der der Kurve einbeſchrieben werden kann.

Es wird nicht überflüſſig ſein, auch hier noch einmal die Geſtalt der Kurve zu erörtern.

Da der Radius des beweglichen Kreiſes ein Drittel von dem des feſten Kreiſes iſt, ſo wird die die Kurve beſchreibende Marke den feſten Kreis dreimal treffen und zwar in ſymmetriſch liegenden Punkten, ſo daß deren Verbindungslinien mit dem Koordinatenanfangspunkt unter einander gleiche Winkel von 120° bilden. In dieſen Punkten beſitzt die Kurve Spitzen erſter Art; die Taugenten in dieſen Punkten

*) Salmon⸗Fiedler, H. C. Art. 307.