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§. 6.

Die Eigenſchaften der Kurve in analytiſcher Darſtellung ſollen nun hergeleitet werden unter Zugrundelegung der Erzeugungsweiſe durch Rollen.

Um zu der Gleichung der Kurve zu gelangen, nehmen wir ein rechtwinkliges Koordinatenſyſtem an, deſſen Anfangspunkt O ſich im Mittelpunkte des feſten Kreiſes befindet.(Figur 5.)

Der Radius des feſten Kreiſes ſei a; der Mittelpunkt des Erzeugungskreiſes C mit dem Radius CD= r. D ſei der Berührungspunkt in der betrachteten Lage, M der beſchreibende Punkt, während 4, der Durchſchnitt der poſitiven Xaxe mit dem feſten Kreiſe, zugleich der Punkt iſt, in dem der beſchreibende Punkt M auf die Peripherie des feſten Kreiſes fällt.

Wir fällen jetzt von C und M Perpendikel auf O4A, die mit C O reſp. M P bezeichnet werden ſollen, und ziehen dann M G parallel zu 4 0. Ferner werde der Winkel 4 00 mit ꝙ, der Winkel MOD mit 9 bezeichnet. Die Koordinaten des erzeugenden Punktes ſind danach:

= 0OP= 00+ 0P 1)„= MP= 00— 06. Aus der Figur ergiebt ſich: PO= MO= r. sin MOG, und da: MGG= 180—(90°—)—= 90°+— 0 iſt, sin MOG= cos(†— 9) alſo PO= r. cos(— 9). Aus der Betrachtung des rechtwinkligen Dreiecks CG M ergiebt ſich ſofort CG= r. sin(— O), während aus dem rechtwinkligen Dreieck C0 0 die Gleichungen folgen: 000=(a— p cos C0=(a— r) Sin c. Setzen wir nun die gefindenen Werte in die Gleichungen 1) ein, ſo reſultiert: T= r. cos(d—)+(a— h. cos F, 2)„)z=(a— 7). sin&— r sin(— 9).

Berückſichtigen wir ferner, daß Bogen MD= Bogen 4 D, was ſich aus der Art der Bewegung

ſofort ergiebt, ſo gilt r. 9= a.„ oder 4=27. g.

Subſtituieren wir dieſe Werte in die Gleichungen 2), ſo erhalten wir nun ſofort die Simultangleichungen der Hypocykloide:

a— /r 2——=) 9 r. G( 7. 9)

.. 6— 7 7= A= sing—r sin( 9) Es möge hier noch der intereſſante Satz ſeine Stelle finden, der ſich ergiebt, wenn wir die Gleichung r. 9= a. G

in der Form einer Proportion ſchreiben 7.:4—= 9 9.