— 2 + 1 — 2 „ e Dies ſind die Simultangleichungen der Epicykloide. Setzen wir jetzt an Stelle von„ den Wert(— n), ſo ergeben ſich die Gleichungen der Hypocykloide 2

2=,(— n. c+ s)

(n. cos&+ cos n ꝙ%)

(n. sin ꝙ+ sin n o)

(—n. sin ꝙ— sin n ꝙ) 9= 3 9 22 22 9),

die ſich leicht in die ſpäter von uns aufzuſtellenden Gleichungen der Kurve umformen laſſen.

Es ſei hier nur noch bemerkt, daß die dreieckige Hypocykloide ſich ergiebt für den abſoluten Werth von„= 2, ſo daß alſo der Satz jetzt lautet:

Bewegen ſich zwei Punkte auf einer Kreisperipherie in entgegengeſetzter Richtung, der eine mit der doppelten Geſchwindigkeit des anderen, ſo umhüllen ihre Verbindungslinien eine dreieckige Hypoecykloide.

Aus der Art der Bewegung geht übrigens ſofort hervor, daß die Punkte dreimal zuſammen⸗

fallen und daß dieſe drei Punkte jeder von den beiden anderen um ½ der Kreisperipherie entfernt liegt.

Siebeck) hat die dreieckige Hypocykloide ſtudiert als eine durch Bewegung eines Punktes erzeugte Kurve. Aus der umfangreichen Arbeit ſollen nur die für unſer Thema intereſſanten Stellen hier Erwähnung finden. Die Erzeugungsweiſe iſt folgende:

Läßt man die Punkte zweier ſich in wenigſtens zwei reellen Punkten ſchneidenden Kegelſchnitte einander ſo entſprechen, daß je zwei entſprechende Punkte mit einem der Durchſchnittspunkte P der Kegelſchnitte in gerader Linie liegen und legt die Tangenten in zwei einander entſprechenden Punkten, ſo iſt die von den Durchſchnittspunkten der letzteren gebildete Kurve von der vierten Ordnung und der dritten Klaſſe.

Zu dieſen Kurven gehört auch die dreieckige Hypocykloide. Das Fundamentaldreieck iſt gleich⸗ ſeitig, nämlich das durch die Spitzen der Kurve beſtimmte Dreieck. Die Doppeltangente iſt die unendlich entfernte Gerade. Beſchreibt man bei den Kurven vierter Ordnung und dritter Klaſſe um das von den Rückkehrpunkten gebildete Dreieck einen Kegelſchnitt, der durch die Berührungspunkte der Doppeltangente geht— in unſerem Falle ſind die beiden Berührungspunkte der Doppeltangente die unendlich entfernten imaginären Kreispunkte, der dem Dreidkk umbeſchriebene Kegelſchnitt der Kreis durch die drei Spitzen— und außerdem in daſſelbe Dreieck einen derjenigen Kegelſchnitte, welche die Doppeltangente berühren, ſo laſſen ſich dem erſten Kegelſchnitt unendlich viele Dreiecke einbeſchreiben, die zugleich dem zweiten umbeſchrieben ſind.

Für das Verhältnis der beiden Radien ergiebt ſich Folgendes. Aus der Gleichung

4= Vn Te„* reſultiert, da= 0 iſt, 71= 227.

*) Crelle, Journal. Bd. 66. **) Salmon⸗Fiedler, A. G. d. K. Art. 352. Aufgabe 1.