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Wir haben oben geſehen, daß auch die Entfernung der Berührungspunkte eines Paares eine konſtante Größe iſt und zwar= 4,, ſo daß ſich alſo, dies mit dem eben erlangten Reſultate verglichen, der bemerkenswerte Satz ergiebt:

Die Summe der Quadrate der Gegenſeiten des Vierecks abed iſt gleich dem Quadrate des

Abſtandes der Berührungspunkte eines Paares der erzeugenden Linien, z. B. ab+ 2d= 71,(Fig. 1). Dieſe Relation ſcheint Steiner entgangen zu ſein.

abed liegt innerhalb der Kurve Gs. Die den Dreiecken abc, abd, acd, bed umbeſchriebenen Kreiſe ſind gleich, alſo, da der dem Dreiecke umbeſchriebene Kreis dazu gehört, ſo ſind ſie alle gleich dem dem Dreiecke umbeſchriebenen Kreiſe und haben folglich einen doppelt ſo großen Radius, als der dem Dreiecke eigentümliche Feuerbach'ſche Kreis. Dieſer hinwiederum iſt alſo für Dreiecke, die den oben geſchilderten Bedingungen genügen, gleich groß. Die Mittelpunkte der vier Kreiſe ſeien reſp. 0,,„ 1,.. Das von dieſen Punkten gebildete Viereck iſt gleich dem Viereck a. 5, α&, und gleich dem Viereck abed und liegt ſo, daß die Geraden a,.,, b, 91,.„ d., durch den Mittelpunkt des Feuerbach'ſchen Kreiſes gehen und in demſelben gehälftet werden. Folglich haben die den Dreiecken,.,*, ‿˙⁴ umbeſchriebenen Kreiſe die reſp. Mittelpunkte I, c, G, a und ihre Radien ſind ebenfalls 27. Die Gegen⸗ ſeiten d und G,«y und 50, α und„ ſind rechtwinklig zu einander und bilden die drei Paare GGi, HII,, Jhh, deren Scheitel wiederum als geometriſchen Ort den Feuerbach'ſchen Kreis haben. Die Enveloppe derſelben iſt alſo eine der erſten Kurve gleiche Kurve(, die den Feuerbach'ſchen Kreis in den Gegenpunkten derjenigen Punkte berührt, in denen die urſprüngliche Kurve denſelben berührt.

Dem Viereck abed iſt ein Büſchel gleichſeitiger Hyperbeln umbeſchrieben, deren verſchiedene Aſymptotenpaare die geſammten Tangentenpaare der Kurve( ſind, d. h. jede Fußpunktlinie G iſt eine Aſymptote einer dem Dreieck umbeſchriebenen gleichſeitigen Hyperbel, die durch den Schnittpunkt der Höhen geht und den Scheitel s der Geraden G zum Mittelpunkt hat.

§. 5.

Eine weitere Konſtruktion unſerer Kurve findet ſich von Eckardt*) angegeben.

Wenn ſich zwei Punkte auf einer Kreisperipherie, beide mit gleichförmiger aber verſchiedener Geſchwindigkeit, bewegen, und wenn die gleichzeitigen Lagen beider Punkte durch gerade Linien verbunden werden, ſo umhüllen dieſe Linien eine Epicykloide, wenn die Bewegungsrichtung der beiden Punkte eine gleiche und eine Hypocykloide, wenn ſie eine entgegengeſetzte iſt.

Nehmen wir den Mittelpunkt des Kreiſes zugleich als Anfangspunkt der Koordinaten und legen die Xaxe durch einen ſolchen Punkt, in dem ſich die beiden variablen Punkte begegnen, während das Verhältnis der beiden Geſchwindigkeiten„(—₰ 1) iſt, ſo ſind die Punkte gegeben durch die Gleichungen:

1)= a. als; 9,= A. sin p. 2),= a. cos ꝓ; e= a. sin †. Die Gleichung der Verbindungslinie der variablen Punkte lautet alſo: r.(sin n— sin)— y.(cos nc— cos)= a. sin(n— 1) 9. Durch Differentiation dieſer Gleichung und die Berechnung des Durchſchnittspunktes der beiden Geraden erhalten wir für deſſen Koordinaten die Werte:

*) Schlömilch, Kahl und Kantor. Bd. 15.