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auf den Mitten ſeiner Seiten liegen. Die Tangenten B C, 04A, 4 B ſind mit Durchmeſſern des Feuer⸗ bach'ſchen Kreiſes zu Paaren konjugiert, da ſie zugleich auch Tangenten dieſes Kreiſes ſind. Die Ecken u v 2w ſind die Scheitel dieſer Paare. Tragen wir auf dieſen Durchmeſſern die konſtante Länge 47 ab — dies iſt nichts anderes, als wenn wir von ihrem Mittelpunkte die Länge der Sehne, die ja in dieſem Falle 27 beträgt, da die Sehnen Durchmeſſer ſind, abtragen würden— ſo erhalten wir die Berührungs⸗ punkte dieſer Tangenten mit der Kurve, die alſo auf dem umbeſchriebenen Kreiſe liegen. Sie ſind alſo identiſch mit den Rückkehrpunkten der Kurve. Sehen wir dieſes Reſultat von anderer Seite an, ſo ergiebt ſich daraus, daß die Rückkehrtangenten ſich in einem Punkte ſchneiden und gleich lang ſind. Der Punkt, in dem ſie ſich ſchneiden, iſt der Mittelpunkt des ein⸗ und umbeſchriebenen Kreiſes. Die drei Rückkehr⸗ tangenten ſind zugleich Normalen der Kurve in ihren Scheitelpunkten, wenn wir hierunter die Punkte verſtehen, in denen ſie von dem einbeſchriebenen Kreiſe berührt wird. Ihre Länge beträgt ſomit das Dreifache vom Radius des Feuerbach'ſchen Kreiſes. In dem beſonderen Falle des gleichſeitigen Grund⸗ dreiecks verhalten ſich Feuerbach'ſcher, Grund⸗ und umbeſchriebener Kreis nicht nur, wie im allgemeinen Falle, wie 1:2:3, ſondern alle drei Kreiſe liegen in dieſem Falle in konzentriſcher Lage.

§. 4.

Es wird nicht ohne Intereſſe ſein, noch auf den Zuſammenhang der Hypocykloiden mit den regelmäßigen Polygonen hinzuweiſen. Giebt n das Verhältnis zwiſchen den Radien des feſten und des rollenden Kreiſes an, ſo laſſen ſich für alle rationalen ganzen Werte von dn drei regelmäßige Polygone konſtruieren, die jedesmal ſo viel Ecken reſp. Seiten haben, als die Verhältniszahl„ angiebt. Die Polygone haben alſo immer ebenſoviele Ecken, als die Hypocykloide Spitzen hat. Wir haben für den Fall der dreieckigen Hypocykloide ſchon darauf hingewieſen, daß wir derſelben zwei Dreiecke einbeſchreiben, eines umſchreiben können, von denen das eingeſchriebene Tangentendreieck und das umbeſchriebene Dreieck ähnliche Lage haben. Die Seiten des einen ſind mit denen des anderen parallel. Das eingeſchriebene Dreieck, das mit den Ecken in den Scheiteln der Hypocykloide liegt, hat gerade umgekehrte Lage. Auch deſſen Seiten ſind parallel mit den Seiten der beiden anderen Dreiecke. Die drei Dreiecke verhalten ſich ihrem Flächeninhalte nach wie die Quadrate der Radien der drei Kreiſe, während ihre Seiten ſich ver⸗ halten wie die Radien der betreffenden Kreiſe ſelbſt. Analoges gilt nun für jeden rationalen Wert der Zahl z d. h. für jede neckige Hypoecykloide.

Der Vollſtändigkeit halber ſollen hier auch die Beziehungen wiederholt werden, die Steiner*) für die bei der Kurve auftretenden Vierecke und Kreiſe gefunden hat.

Sind GG, und HI.,(ſiehe Figur 4) irgend zwei Paare und wird G von H und H. in a. reſp. d, G, von H und H, in b reſp. geſchnitten, ſo ſind a, c, und 5 A, ein drittes Paar J2. Ein ſolches Tripel von Tangentenpaaren mit dem Quadrupel der Schnittpunkte abed bilden, wie ſchon oben bemerkt wurde, die Seiten des Dreiecks mit ihren zugehörigen Höhen. abed bilden ein vollſtändiges Viereck, deſſen drei Paar Gegenſeiten zu einander ſenkrecht ſind oder vier Punkte, von denen jeder der Höhenſchnitt des durch die drei anderen gebildeten Dreiecks iſt. Bei allen dieſen Vierecken iſt die Summe der Quadrate der Gegenſeiten konſtant, alſo:

ad+ bc= ac+ bd'= a5+ ed= 16„

*) Crelle, Journal. Bd. 53.