5 Durchſchnittspunktes dieſer Geraden und eines Strahles durch den Mittelpunkt des Strahlbüſchels ein Kegelſchnitt ſein, der ſich in unſerm beſonderen Falle als eine gleichſeitige Hyperbel darſtellt.

Von Steiner’) finden wir in den vermiſchten Sätzen noch eine andere Erzeugungsweiſe unſerer Kurve. Es umhüllen die Axen aller einem gegebenen Dreieck eingeſchriebenen Parabeln eine dreieckige Hypocykloide, deren drei Rückkehrtangenten ſich in dem Mittelpunkte des dem Dreieck umſchriebenen Kreiſes treffen unter gleichen Winkeln von 120⁰. Jede derſelben hat die Länge 37 des Kreiſes. Die drei Rückkehrpunkte liegen alſo in einem mit dem dem Dreieck umbeſchriebenen konzentriſchen Kreiſe. Wir ſehen, daß in dieſem Falle der dem Dreieck umbeſchriebene Kreis identiſch iſt mit dem, den wir der Kurve einbeſchreiben können, daß alſo hier der urſprünglich auftretende Kreis übereinſtimmt mit einem der bei der Kurve ſelbſt vorkommenden, während bei der zuerſt angegebenen Methode der Grund⸗ kreis keinen Einfluß auf die Lage der Kurve ausübte. Der in dem jetzigen Falle dem Dreieck um⸗ beſchriebene Kreis entſpricht dem Feuerbach'ſchen im erſten Falle. Der rollende Kreis iſt hier gleich dem dem Dreieck umbeſchriebenen, während er im erſten Konſtruktionsverfahren dem zu dem Dreieck gehörigen Feuerbach'ſchen gleich war. Wählen wir hier als Grunddreieck ſpeziell ein gleichſeitiges, ſo iſt es der entſtehenden Kurve einbeſchrieben, ſo daß ſeine Ecken auf den Scheiteln der Kurve liegen. Die Scheitel haben dieſelbe Bedeutung, wie oben definiert worden iſt..

Jede Fußpunktlinie G wird nun von einem Tangentenpaar, das, wie wir oben geſehen haben, rechtwinklig zu einander iſt, während der Ort der Scheitel der rechten Winkel ein dem Dreieck eigen⸗ tümlicher Kreis iſt, in zwei Punkten geſchnitten, die gleichweit von dem oben als Mittelpunkt bezeichneten Punkte der Geraden G entfernt liegen. Wir erhalten dadurch eine weitere Konſtruktion der dreieckigen Hypocykloide und zwar ſo, daß wir die einzelnen Punkte der Kurve bequem konſtruieren können. Zeichnen wir nämlich die Paare Fußpunktenlinien und tragen von dem zweiten Schnittpunkte, den die beiden Geraden des Paars mit dem Feuerbach'ſchen Kreiſe haben, die Länge der Sehnen ab, ſo ergeben uns die Endpunkte die Punkte der Kurve ſelbſt. In unſerer Figur 1 iſt s der Scheitel, der Mittelpunkt der Geraden G, x, der Mittelpunkt von G,; es iſt xt= æs und x. t,= x s. k und z ſind alſo Punkte der Kurve. Es zeigt ſich nun, daß die Gerade durch die beiden Berührungspunkte eines Paares wiederum eine erzeugende Linie der Kurve iſt, während ihre konjugierte durch den Scheitel des erſten Paares geht. Dieſe Methode können wir alſo benutzen, nicht nur um ſämmtliche Punkte der Kurve zu konſtruieren, ſondern auch alle der Kurve zugehörigen Enveloppenpaare.

Es verdient beſonders erwähnt zu werden, daß die Entfernung der Berührungspunkte eines Paares eine konſtante Größe iſt und zwar= dem Vierfachen des Radius des Feuerbach'ſchen Kreiſes. Da, wie wir geſehen, durch die Berührungspunkte wiederum eine erzeugende Linie oder Tangente geht, ſo ſtimmt dies damit überein, daß Steiner ſagt, die Kurve(s ſchneide jede ihrer Tangenten in zwei Punkten, die den konſtanten Abſtand 4 haben. Allerdings ſpricht Steiner nicht aus, daß er mit dem Radius y den des Feuerbach'ſchen Kreiſes meine. 2

Wie oben gezeigt wurde, laſſen ſich der Kurve ein Kreis um⸗ ein anderer einbeſchreiben, von denen der letztere der Feuerbach'ſche iſt, der zu dem Grunddreieck gehört, während der umbeſchriebene mit dieſem konzentriſch liegt, aber einen dreimal ſo großen Radius beſitzt. Der letztere entſpricht alſo der Baͤſis der Hypocykloide. Die Tangenten in den Berührungspunkten des Kreiſes mit der Kurve bilden ein gleichſeitiges Dreieck 4 B das viermal ſo groß iſt, als das gleichſeitige Dreieck ar e0, deſſen Ecken

*) Crelle, Journal. Bd. 55. S. 371.