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Verbinden wir P mit d, ſo wird d durch die zu P gehörige Fußpunktenlinie G halbiert und zwar in— auf der Peripherie des Feuerbach'ſchen Kreiſes. heißt der Mittelpunkt von(, s der Scheitel. Es iſt dies der Punkt, in dem G den Kreis zum zweitenmale trifft. Iſt nun H der Gegenpunkt von B 6. die zu B gehörige Fußpunktenlinie, ſo ſchneiden ſich G. und( ſenkrecht in s und die Mitte 7 der Geraden 6, iſt Gegenpunkt von x im Kreiſe, der durch die Mitten der Dreieckſeiten geht. Ph iſt parallel zu ar.

Die Fußpunktlinien, deren Enveloppe die Kurve( iſt, ſind alſo paarweiſe zu einander ſenkrecht oder die Tangenten der Kurve ſind paarweiſe zu einander ſenkrecht. Der Ort der Schnittpunkte oder der Ort des Scheitels des rechten Winkels iſt ein Kreis und zwar der zum Dreieck gehörige Feuer⸗ bach'ſche Kreis. Die Eunler'ſche Gerade verbindet die Mitten der parallelen Geraden Pp, und x,. Beſonders erwähnenswerth iſt es, daß jede der Dreieckſeiten mit ihrer zugehörigen Höhe ein Tangenten⸗ paar bildet. Es iſt offenbar, daß ſie den oben aufgeſtellten Bedingungen genügen.

Das Syſtem der Tangentenpaare G und G. kann auch noch auf andere Weiſe auf folgende Art beſtimmt werden. Nimmt man auf dem Feuerbach'ſchen Kreiſe einen Punkt p an und eine beliebige aber feſte Richtung und zieht durch jeden Punkt s auf der Peripherie deſſelben Kreiſes eine Gerade durch den Punkt p und parallel zu der angenommenen Richtung und halbiert die von dieſen beiden Geraden gebildeten Nebenwinkel durch zwei andere Gerade, ſo bilden dieſe letzteren ein dem Geradenpaare 6G ähnliches Syſtem und umhüllen alſo eine Kurve(, denn ihr Schnittpunkt bewegt ſich auf einem Kreiſe, während ſie ſelbſt rechtwinklig zu einander ſind, die Eigenſchaften, die wir oben als den Tangenten⸗ paaren der Kurve zukommend erkannten.

Eine andere Konſtruktion der Kurve( ſtützt ſich ebenfalls auf den Feuerbach'ſchen Kreis. Zieht man in demſelben eine beliebige Sehne z. B. vom Punkte P die Sehne Ph, dann ſenkrecht zu dem durch P gehenden Durchmeſſer B. P, u. ſ. f., ſo hüllen dieſe Sehnen eine Kurve G ein unter der Vorausſetzung, daß Bogen PP. inkommenſurabel zur Peripherie iſt.

Die beiden zuletzt angegebenen Konſtruktionen ſind eindeutig beſtimmt, wenn der Radius des Feuerbach'ſchen Kreiſes gegeben iſt. Wie nun zu jedem Dreieck der Feuerbach'ſche Kreis eindeutig zu⸗ gehört, es aber unendlich viele Dreiecke giebt, deren zugehörige Feuerbach'ſche Kreiſe ſich nur durch die Lage, aber nicht durch die Größe des Radius unterſcheiden, ſo gehören auch zu jedem Kreiſe unendlich viele Dreiecke, die in der angegebenen Relation ſtehen, ſo daß auch hier die Mannigfaltigkeit des Grund⸗ dreiecks in der geforderten Weiſe gewahrt wird.

§. 3.

Schröter“*) giebt die dreieckige Hypocykloide als das Erzeugnis zweier projektiviſchen Gebilde, von denen das eine auf einer Geraden, das andere auf einem Kreiſe ſich befindet, und zwar iſt die Gerade die unendlich entfernte Go, der Kreis derjenige, der bei der früheren Konſtruktion als der Feuerbach'ſche auftrat; die Gebilde ſelbſt ſind projektiviſch gleich, aber ungleich liegend*).

Die beiden Gebilde ſind ſo aufeinander projektiviſch bezogen, daß ein Strahlbüſchel, das ſeinen Mittelpunkt auf dem gegebenen Kreiſe hat, mit der Punktreihe projektiviſch iſt, d. h. verbindet man einen beliebigen, aber feſten Punkt P auf dem Kreiſe mit einem Punkte der Punktreihe, ſo muß der Ort des

*) Crelle, Journal. Bd. 54. S. 31. **) Steiner, Abhängigkeit geometr. Geſt. S. 64.