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Halten wir eine Seite des Dreiecks oder, was gleichbedeutend iſt, zwei Ecken des Dreiecks feſt, während die dritte Ecke auf der Peripherie eines durch ihre anfängliche Lage beſtimmten Kreiſes ſich bewegt, und fällen von einem Punkt der Peripherie Perpendikel auf die drei Seiten, ſo werden die Fuß⸗ punkte auf Geraden liegen, die alle durch ein und denſelben Punkt gehen, nämlich den Fußpunkt des Perpendikels von dem markierten Punkte der Peripherie auf die feſte Gerade. Mit andern Worten: Bewegt ſich ein Peripheriewinkel ſo, daß ſeine beiden Schenkel ſtets durch zwei feſte Punkte auf der Peripherie gehen, ſo liegen die Fußpunkte der Perpendikel von einem Punkte der Peripherie auf ſeine Schenkel auf Geraden, die alle durch denſelben Punkt gehen. Es entſprechen alſo beſtimmten Punkten der Peripherie in dieſem Falle einer feſten Dreiecksſeite beſtimmte Punkte eben dieſer Seite. Durch jeden Punkt der feſten Geraden gehen unendlich viel Gerade, die zu den erzeugenden Linien der Kurve gehören, da wir andererſeits für die verſchiedenen Lagen des durch zwei feſte und eine variable Ecke beſtimmten Dreiecks den angenommenen Punkt die Peripherie durchlaufen laſſen können, wodurch wir die Hypocykloide als Enveloppe der Fußpunktenlinien erhalten. Weitere Unterſuchungen über den Zuſammenhang der verſchiedenen erzeugten Kurven für dieſen Fall und dann, daß das Dreieck überhaupt jede mögliche Lage im Kreis annehmen kann, während der frühere variable Punkt der Peripherie feſt bleibt, behält ſich Verfaſſer vor. Dieſelbe Vorausſetzung einer feſten Dreieckſeite giebt auch das andere merkwürdige Reſultat, daß für ſämmtliche Dreiecke, die durch Variation der dritten Ecke auf der Peripherie des zugehörigen Kreiſes möglich ſind, die Feuerbach'ſchen Kreiſe ein Kreisbüſchel bilden, deſſen Mittelpunkt der Halbierungs⸗ punkt der feſten Sehne iſt. Da der Feuerbach'ſche Kreis den Radius von halber Länge des dem Dreieck umbeſchriebenen Kreiſes hat, und da, wie ſich zeigen wird, von ihm die Größe und Lage der Hypocykloide allein abhängt, ſo geht auch hieraus hervor, daß das Dreieck, direkt ohne Einfluß auf die erzeugte Kurve, nur inſofern in Betracht kommt, als die Lage und Größe des Feuerbach'ſchen Kreiſes von ihm abhängt. Die Größe des letzteren iſt aber bei unendlich vielen Dreiecken dieſelbe.

§. 2.

Nach dieſen allgemeinen Betrachtungen wollen wir zunächſt auf die Kurve, die wir als Enveloppe der Fußpunktenlinie definierten, näher eingehen. Wir beziehen uns dabei auf Figur 1. Die beiden Figuren 2 und 3 zeigen die ſpeziellen Fälle, wo das Dreieck einmal rechtwinklig⸗gleichſchenklig, das anderemal gleichſeitig iſt.

Es ſei a b(Fig. 1) das gegebene Dreieck, O der Mittelpunkt des umbeſchriebenen Kreiſes; ae, Sf, eg ſind die Höhen des Dreiecks, der Schnittpunkt derſelben; a, 5,„ ſind die Mittelpunkte der Seiten,—n der Mittelpunkt des durch ſie und die Fußpunkte der Höhen e, f. 9 gehenden Kreiſes, des Feuerbach'ſchen Kreiſes, deſſen Radius gleich der Hälfte vom Radius des dem Dreieck umbeſchriebenen Kreiſes iſt. m liegt auf der Mitte von o, der Euler'ſchen Geraden, ſo daß alſo d äußerer Ähnlich⸗ keitspunkt der beiden Kreiſe iſt. Theilen wir jetzt die Bogen ad,„)9 des Feuerbach'ſchen Kreiſes durch die Punkte u, o, w ſo, daß aul= 3&, So= 3 Sf, 720=* 79 iſt, ſo wird ureo emn gleichſeitiges Dreieck. Von der Lage dieſes Dreiecks iſt nun die Lage der Hypocykloide abhängig. Dasſelbe iſt der Hypoecykloide eingeſchrieben, ſo daß ſeine Ecken auf der Kurve liegen. Dies muß hier beſonders erwähnt werden, da wir auch ein gleichſeitiges eingeſchriebenes Dreieck konſtruieren können, deſſen Seiten Tangenten an die Kurve ſind. Der Spezialfall, daß das urſprüngliche Dreieck ein gleichſeitiges iſt, zeigt, daß das einbeſchriebene Tangentialdreieck identiſch iſt mit dem Grunddreieck, während das andere eingeſchriebene

Dreieck die Mitten der Seiten des urſprünglichen verbindet. 1*