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Ein elementarer Beweis iſt folgender: Wenn die Punkte 4 B 0 auf einem Kreiſe liegen und 4, der Fußpunkt der Normalen von D auf B 0. B analog auf 0 A,(. auf A B iſt, ſo liegen A, B, C. auf einer Geraden, weil aus der Betrachtung der Kreisvierecke 4, B. CD und 4, B. D ſich ergiebt:

DA B.= D G. als Peripheriewinkel auf D B.,

D 65.= D G4,

D 064= DBA, Peripheriewinkel auf D A,

DB4= p0

DB C.= D4A. Peripheriewinkel im Kreisviereck 4, B. D.

Folglich D4., B.= D A. G., alſo liegen 4A, B,(, auf einer Geraden.

Nimmt man das Centrum des feſten Kreiſes als Anfangspunkt, ſo daß die Ecken des Dreiecks die Koordinaten haben:

1)== cos 2, i= e.. San, 2.

2)—.r. c0s 2;„=* S7, 2

3) a= 7 Cos 2 y; NJe= 7 Sann 27 während die Koordinaten des beweglichen Punktes ſind:

= r cos 2 G;= 7 ssn 2&, ſo ergiebt ſich als Gleichung der Fußpunktenlinie: æ. sin(‿++ 7— o)—. cs(+ 6+.„— o)= Ir.. sin(++„— 3%) i ae geFin it aece n t, der Eleſchann de, uhfnsſe der es ee, mns

Dieſe Gleichung iſt identiſch mit der Gleichung der Tangente der dreieckigen Hypocykloide und läßt ſich daher auf die Fum bringen:

g. cos—. sin g= 7. cos 3 9; die Enveloppe der Fußpunktenlinie iſt alſo in der That unſere Kurve.

Ein weiterer Beweis ergiebt ſich aus der Betrachtung des Steiner'ſchen Krümmungsſchwer⸗ punktes, der für das Dreieck mit dem Mittelpunkt des umgeſchriebenen Kreiſes identiſch iſt. Für jeden Punkt eines Kreiſes, der den Krümmungsſchwerpunkt zum Mittelpunkt hat, iſt der Inhalt des Fuß⸗ punktendreiecks konſtant. Da beim umgeſchriebenen Kreiſe alſo auch das Fußpunktendreieck für alle Punkte der Peripherie konſtant iſt, ſo muß ſein Inhalt hier verſchwinden, da für die Ecken des Dreiecks als Pole das Fußpunktendreieck= 0 iſt.

Salmon⸗Fiedler*) giebt den Beweis des Satzes in Dreilinienkoordinaten. die Gleichung des dem Dreieck.= 0, x,= 0,.= 0 umbeſchriebenen Kreiſes iſt

Tr T, Sin 4i= e ri. Sin 1,= Sin 4,= 0 und dieſe Gleichung enthält als geometriſche Deutung den Satz:

Fällt man von einem Punkte 0 der Ebene auf die drei Seiten eines Dreiecks Perpendikel und verbindet die Fußpunkte derſelben, ſo entſteht ein neues Dreieck, deſſen Inhalt verſchwindet, ſo lange der Punkt 0 ſich auf der Peripherie des dem erſten Dreieck umbeſchriebenen Kreiſes bewegt d. h. die drei Fußpunkte liegen in dieſem Falle auf einer Geraden.

Es iſt beſonders merkwürdig, daß weder Geſtalt noch Größe des Dreiecks einen Einfluß auf die Größe der Hypocykloide ausüben, ſondern daß lediglich der Radius des dem Dreiecke umbeſchriebenen Kreiſes in der Gleichung der Kurve auftritt.

*) Salmon⸗Fiedler, A. G. d. K. Art. 156.