Unter den Hypocykloiden ſind es vorzugsweiſe zwei Gattungen, welchen das Intereſſe der Geometer ſich zuwendet, nämlich die dreieckige und die viereckige. Dieſe Bezeichnung findet ihre Be⸗ gründung in der Geſtalt der Kurven. Eine Hypocykloide überhaupt wird erzeugt durch einen auf der Peripherie eines beweglichen Kreiſes markierten Punkt, wenn dieſer Kreis im Innern eines gegebenen feſten Kreiſes herumrollt. Nehmen wir dieſe Erzeugungsweiſe an, ſo entſprechen die dreieckige und viereckige Hypocykloide den beiden Fällen, wenn der Radius des feſten Kreiſes entweder das Dreifache oder das Vierfache des Radius des rollenden Kreiſes iſt. In jedem Punkte, wo der erzeugende Punkt auf die Peripherie des feſten Kreiſes fällt, beſitzt die Kurve eine Spitze; denn an einer ſolchen Stelle nähert ſich der erzeugende Punkt dem feſten Kreiſe in der Richtung von deſſen Normalen und entfernt ſich alsdann in derſelben Richtung wieder von ihm, d. h. der beſagte Punkt iſt ſtationär und die Normale der feſten Kurve iſt die entſprechende Tangente der erzeugten Kurve. Für rationales Verhältnis der beiden Kreisradien entſtehen nun ſo viele Spitzen als die Verhältniszahl angiebt.
Die dreieckige ſowohl als die viereckige Hypocykloide laſſen ſich indeſſen auch noch auf andere Arten erzeugen.
Kapitel I. Die dreieckige Hypocykloide. §. 1.
Ein Satz von Steiner“) lautet:„Fällt man aus jedem Punkte des einem Dreieck um⸗ ſchriebenen Kreiſes Perpendikel auf die drei Seiten, ſo liegen deren Fußpunkte auf einer Geraden G. Die Enveloppe dieſer Geraden iſt eine Kurve dritten Grades und vierter Ordnung. Go iſt ideelle Doppel⸗ tangente der Kurve, die drei Rückkehrpunkte hat. Die drei Rückkehrtangenten ſchneiden ſich in einem Punkt. Die Kurve berührt die Seiten und Höhen des Dreiecks.“
Dieſe von Steiner geſchilderte Kurve iſt identiſch mit der dreieckigen Hypocykloide. Der Beweis dafür, daß die Fußpunkte der Perpendikel auf einer Geraden liegen, wird von Steiner nicht gegeben. Dieſer letztere Satz rührt nach einer Notiz von Servois in Gergonne’s Annalen von R. Simſon her*).
*) Crelle, Journal. Bd. 53. S. 231. *) Baltzer, Elemente II.§. 3.