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ihre vier Wurzelwerthe: 0, 0, a+e und a— c die Puncte A uud zwar doppelt, M und V bestimmt. Wird a=e genommen(Fig. 2), so ist die zur Spitze A zusammengerückte Schlinge ein dreifacher Punct, indem nun die für= 0 Statt findende Gleichung: *⁴— 2 ταό‿0 drei Wurzeln 0 und eine 2 a gibt, wodurch AV und zwar dreifach und M bestimmt werden.

Wendet man bei diesen Untersuchungen die auf die Directrix als Ordinatenachse bezogene Gleichung(§. 4, 3) an, so liefert dieselbe, da sie für= 0 die Form: æl⁴ †2‿ᷣ a α+‿(a²— ²) gr2— 2ac2&rf,à)h— a2.2)f= annimmt, wenn a= oder=c ist, die Wurzeln:+a,— c,— a,— a; wenn a= c ist, in welchem Falle sie sich umändert in: e1+2‿ꝗ¶ 22 x— 2 3 ⁄— al= 0, die Wurzeln:+ua,— a,— a,— a, wodurch das Vor- hergehende bestätigt und weil reelle Werthe— a statt 0 erscheinen, deutlicher an das Licht tritt.

Der durch die Differenzialrechnung dargebotenen Methode zu Folge ist bekannt-

. 149. d. lich derjenige Punct einer Curve ein vielfacher, für welchen 3 mehrere Werthe hat.

du

d dæ d. Die Formel 227— liefert dann mehrere Werthe für 772, wenn sie die Form— dæ dlal dlaæ 0

d„ du annimmt, d. h. wenn 42.— O und 4— 0 ist.

dæ

Unsere Gleichung§. 2, 2. u= ᷣ— 2a, †„2x²— 2„Ex+.(a²— c²³) †+‿ a²2= 0 gibt:

d.

== 4— 6+ 2 9— 2 ½ 2+. 2(a²— c*) x und du

—— 2„ 2— 292

7 2„½— 4õæ+ 222*,

welche Werthe für ‿σωη0 uund„= 0

und„ ᷣ—= za X 1/(a2+ 8 ²)„ 9= 0 identisch gleich O werden. Da jedoch nur das erste dieser Coordinatenpaare, nämlich x= 0 und„= 0, nicht aber die zwei letzten der Gleichung u= 0 genügen, so kann, wenn überhaupt ein vielfacher Punct vorhanden ist, nur der durch und= 0 ge- gebene oder der Coordinatenanfangspunct ein solcher sein. Hierüber gewährt die zweite

Differenzialgleichung: d2 2 wu=(r— 4abeea 5 aaet⅛*)⸗„() dag,= O, wenn sie

nach(2)enen wird, Aufschluss. Dieselbe geht, wenn in: e.