eines Kreiſes zwei Punkte an, ſo daß ſie zu den Endpunkten des Durchmeſſers conjugirte harmoniſche Punkte ſind, ſo ſind es reciproke Punkte.
Beweis. Angenommen der eine Punkt wäre nicht der reciproke des andern, ſo könnte man doch deſſen reciproken Punkt beſtimmen ꝛc.
31. Lehrſatz. Der Halbmeſſer eines Kreiſes iſt die mittlere Proportionale zu den Abſtänden der beiden Pole vom Mittelpunkt.(Fig. 38.)
Beh. cex: cb= cb: ey.
Beweis. Nach vorigem Satze iſt:
ax: bXx= ay: by, woraus folgt: ax bx: aXx= ay—by: ay, oder wenn man berückſichtigt, daß ac= cb, 2ex: cb+ex= 2 cb: cb Pcaoy. Multipplicirt man die inneren und äußeren Glieder, ſo erhält man: 2ex. cb+2 cx. cy= 2 cb. cb+yõcb. ex und wenn man auf beiden Seiten die gleichen Glieder ſtreicht: ex. cy= cb. cb oder: ex: c-b= cb: cy, w. z. b. w.
Zuſatz. Wenn man bei einer harmoniſch getheilten Linie den Abſtand zweier conjugirten Punkte halbirt, ſo ſind die Abſtände des Halbirungspunktes von den drei auf einer Seite von ihm gelegenen Punkte ſtetig proportionirt.
32. Lehrſatz. Die Abſtände eines beliebigen Punktes der Kreisperipherie von zwei Polen haben ein conſtantes Verhältniß.
Beweis. Siehe 20, III.
33. Lehrſatz. Der Pol einer jeden durch den Punkt x gehenden Ge⸗ raden liegt in der Polaren des Punktes x.(Fig. 39.)
Beweis. Geht die Gerade M N durch den Puntt x und iſt N ihr Pol und iſt zu beweiſen, daß Vy die Polare des Punktes x iſt, d. h. daß IY LXxXy, ſo hat man nur nachzuweiſen, daß eyv MexX, denn da △ cXX wecn eis iſt, ſo muß dann auch ⁸ eyY rechtwinkelig ſein. Nun iſt aber nach 31.
cx:cb= cb: cy und
cX:eB= cB: eY und da cb= cB
cx:c X= cV: cy. Da ferner beide Dreiecke den ½ Vcy gemeinſam haben, ſo iſt eyY MecxxX, alſo auch yY LXy.
34. Lehrſatz.(Umkehrung zu 33.) Die Polare eines jeden in der Ge⸗ raden VYy liegenden Punktes geht durch den Pol der Geraden.(Fig. 39.)
Beweis. Iſt I ein Punkt der Geraden Vy und ſoll bewieſen werden, daß ſeine Polare MN durch den Pol X der Geraden Vy gehen muß, ſo ziehe man von X aus die Centrale, beſtimme zu den Punkten A, B und Y den dem X conjugirten Punkt X, verbinde dieſen mit x und beweiſe, wie bei vorigem Lehrſatz, daß Xx 1 XV.
Bemerkung. Auf dieſelbe Art wie in den beiden vorbergehenden Lehrſätzen beweiſt man, daß der Pol einer jeden durch den Punkt v gehenden Geraden in der Polaren mu dieſes Punktes liegt, und daß die Polare eines jeden in der Geraden mi liegenden Punktes durch den Pol y dieſer Geraden geht.
Aus den vorſtehenden Sätzen fließt folgende Betrachtung, welche den Schluß dieſer Abhandlung bilden mag, da der beſchränkte Raum nicht geſtattet, auf das Kapitel über Pol und Polare näher einzugehen.
Denkt man ſich die durch den Punkt X(Fig. 39.) gehende Sehne mu in dem Punkte x gedreht, ſo wird ihr Pol, d. i. der Schnittpunkt der in ihren