und D E ſchneiden, verbinde die Schnitt— punkte A und J) durch eine Gerade und verlängere, bis dieſe FB ſchneidet und ziehe dann Fo, ſo iſt dies die ge— ſuchte Gerade.

27. Aufgabe.

Zwei Geraden, deren Schnittpunkt unzugänglich iſt, und ein Punkt ſeien gegeben. Es ſoll mittelſt des Lineals allein durch den Punkt eine Gerade ge— zogen werden, welche durch den unzu— gänglichen Schnittpunkt der gegebenen Geraden geht.(Fig. 36.)

Auflöſung. Sind ab und cd die gegebenen Geraden, o der gegebene Punkt, ſo ziehe man von o aus die beliebigen Geraden oe und of, dann die Diagonalen eh und gf und ver⸗ binde deren Schnittpunkt i mit o. Sucht man nun zu oe, oi und oh, nach 25., den vierten harmoniſchen Strahl, ſo iſt dieſer die verlangte Gerade.

38

EC und Bo, bis ſie einander in D ſchneiden und lege durch A D eine Ge— rade, ſo iſt F der geſuchte Punkt.

Zwei Punkte, deren Verbindungslinie nicht gezogen werden kann, und eine Gerade ſeien gegeben. Es ſoll mittelſt des Lineals allein in der Geraden ein Punkt beſtimmt werden, der mit den gegebenen Punkten in einer Geraden iegt.(Fig. 37.)

Auflöſung. Sind e und f die ge⸗ gebenen Punkte, ab die gegebene Ge— rade, ſo ziehe von dem beliebigen Punkte o der Geraden die Verbindungslinien oe und of und ſuche zu ob, of und oe den vierten harmoniſchen, dem ob zugeordneten Strahl. Zieht man nun durch einen beliebigen Punkt i deſſelben die Diagonalen eh undfg und ver⸗ bindet man deren Endpunkteg und h, ſo ſchneidet dieſe Verbindungslinie die gegebene Gerade ab in dem verlangten Punkte.

28. Erklärung. Zieht man von einem Punkt y außerhalb eines Kreiſes

(Fig. 38.) die Centrale und zwei Tangenten und verbindet man die beiden Be— rührungspunkte durch eine Gerade, ſo heißt dieſe Gerade mi die Polare des Punktes y und der Punkt y heißt der Pol der Geraden mn. Umgekehrt wird auch die in y auf der Centralen errichtete Senkrechte op die Palare des Schnittspunkts x der Geraden min mit der Centralen und dieſer der Pol der Geraden op genannt. Die Punkte x und y heißen auch wohl reciproke Punkte(Pole) und die Geraden mi und op reciproke Polaren.

29. Lehrſatz. Die Gerade, welche durch zwei Pole eines Kreiſes geht, wird durch dieſe und durch die Peripherie des Kreiſes harmoniſch getheilt.(Fig. 38.)

Beweis. Man ziehe durch den Punkt x die Polare mi und verbinde deren Schnittpunkte m und n mit den Punkten a, b und y, ſo ſind dieſe Ver— bindungslinien mit der Polaren harmoniſche Strahlen; denn es iſt:

X ymb= ₰ mab und X ymn= X man und da auch X mab= ½ ₰⁸³ man ymb= ½ ⁸³‿ ymn, der Strahl mb halbirt

alſo den von my und mx eingeſchloſſenen Winkel; da nun aber auch der Strahl ma+ mb, ſo ſind nach 17., Zuſatz, ma, mx, mb und my harmoniſche Strahlen, folglich auch a, x, b und y harmoniſche Punkte.

30. Lehrſatz.(Umkehrung zu 29.) Nimmt man auf dem Durchmeſſer