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mit den Schnittpunkten D und B der entſprechenden Strahlen a und, b und α in eine Gerade fallen und muß der vierte harmoniſche Punkt zu D, B und n ſein. Da nun beide Strahlen d und 5 nur einen Punkt o gemein haben können, ſo muß dieſer der Durchſchnitt der beiden Diagonalen AC und DB ſein, und dieſe Diagonalen ſind folglich durch o und die Schnittpunkte m unden mit der dritten Diagonale F E harmoniſch getheilt. Daß auch die Diagonale F E durch m und n harmoniſch getheilt wird, folgt leicht, wenn man A mit n verbindet; denn alsdann ſind AD, Ao, AB und An bharmoniſche Strahlen, alſo auch F, m, E und n harmoniſche Punkte.

Bemerkung. Der Satz behält auch dann ſeine Richtigkeit, wenn zwei Seiten des Vier⸗ ſeits parallel ſind oder wenn die Seiten paarweiſe parallel ſind. Nehmen wir zuerſt an de würde parallel ab(Fig. 34., vergleiche Fig. 32.), ſo würde der Punkt e im Unendlichen liegen, alſo auch fellab ſein. Von den vier harmoniſchen Punkten der Diagonalen fe würde der eine(e) im Unendlichen liegen und der Punkt f in der Mitte von m und n.

Würde nun auch noch bellaf, ſo fiele auch der Punkt f und alſo auch die ganze Diagonale fe mit den Punkten m unden in's Unendliche und die Diagonalen ac und b d des Parallelogramms abed wiürden ſich gegenſeitig balbiren, da der Punkt o ſowohl in der Mitte von ac, als auch in der Mitte von b d liegen müßte, weil die Punkte m unden unendlich ferne lägen.(Siehe 14.)

25. Aufgabe.

Zu drei gegebenen Punkten den vier⸗ Zu drei gegebenen Strahlen den ten harmoniſchen Punkt zu finden, je⸗ vierten harmoniſchen Strahl zu finden, doch mittelſt des Lineals allein. jedoch mittelſt des Lineals allein.

Auflöſung. Sind die Punkte A, Auflöſung. Sind die Strahlen a, C und m(Fig. 33.) gegeben und ſoll(b und c(Fig. 33.) gegeben und ſoll der dem m zugeordnete Punkt o ge⸗ der dem c zugeordnete Strahl d ge⸗ funden werden, ſo betrachte man Am funden werden, ſo betrachte man a und als eine Diagonale des Vierſeits, ziehe b als Seiten, c als eine Diagonale durch m eine beliebige Gerade F E, eines Vierſeits, nehme auf dem Strahle c nehme auf ihr zwei beliebige Punkte einen beliebigen Punkt E an, ziehe von F und E und ziehe von dieſen durch demſelben aus zwei beliebige Geraden die andern gegebenen Punkte A und C ED und E A, welche den Strahl b die Geraden FA, FC, EA, EC die in C und B ſchneiden, und ziehe die ſich in D und B ſchneiden. Die Ver⸗ Diagonalen B 1) und AC, ſo iſt die bindungslinie von D und B wird als⸗ Verbindungslinie des Schnittpunkts o dann durch den geſuchten Punkt o dieſer Diagonalen mit F der geſuchte gehen. Strahl.

26. Aufgabe. Drei Geraden und ein Punkt ſeien Drei Punkte und eine Gerade ſeien gegeben. Es ſoll mittelſt des Lineals gegeben. Es ſoll mittelſt des Lineals allein durch den Punkt eine Gerade ſo allein in der Geraden ein Punkt ge⸗ gezogen werden, daß er und die drei funden werden, daß ſie und die drei Durchſchnittspunkte, welche ſie mit den Geraden, welche er mit den drei ge⸗ drei gegebenen Geraden macht, vier har⸗ gebenen Punkten beſtimmt, vier har⸗ mon geſe Punkte ſind.(Fig. 35.) moniſche Strahlen ſind.(Fig. 35.) Auflöſung. Es ſeien die Geraden Auflöſung. Es ſeien die Punkte A E, DE, FB und der Punkt o ge⸗ A, E, o und die Gerade FB gegeben. feen. Ziehe Co und Bo und ver⸗ Verbinde A mit E, ziehe Ao, dis es ängere ſie, bis ſie die Geraden AE die Gerade FB in C ſchneidet, dann