beide in o, ſo hat man nur o mit Schnittpunkte entſprechender Strahlen a(d) zu verbinden und der Beweis(xX und b) eine Gerade, ſo liegt auch iſt auf den vorigen zurückgeführt. ein Punkt a der zuſammenfallenden Strahlen in dieſer Geraden und der Beweis iſt auf den vorigen zuruͤckgeführt.

23. Erklärung. Wenn man die gegenüberſtehenden Seiten eines Vier— ecks verlängert, bis ſie ſich ſchneiden, ſo erhält man eine Figur, bei welcher vier gerade Linien ſechs Schnittpunkte haben. Dieſe Figur heißt ein vollſtän⸗ diges Vierſeit(abecfd. Fig. 32.). Das vollſtändige Vierſeit hat drei Diago⸗ nalen ac, bd, ef.

Sind die gegenüberſtehenden Seiten des Vierecks abed nahezu parallel, ſo werden die Schnittpunkte e und f ſehr weit zu liegen kommen; bei dem Parallelogramm ſelbſt liegen ſie in unendlicher Entfernung. Die Diagonale ef als Verbindungslinie zweier unendlich fernen Punkte liegt dann ebenfalls im Unendlichen, ſo daß für das Parallelogramm nur zwei Diagonalen übrig bleiben.

24. Lehrſatz. Jede Diagonale eines vollſtändigen Vierſeits wird durch die Ecken und die beiden andern Diagonalen harmoniſch getheilt.(Fig. 32.)

Vor. ac, bd und fe ſeien die Diagonalen des vollſtändigen Vierſeits abedef.

Beh. ao: oc= am: cm.

Beweis. Betrachtet man zu dem acq, dem die Diagonale ac als Seite angehört, die Seiten bf und ae und die Diagonale bd als Ecktransver— ſalen, die ſich in dem Punkte b ſchneiden, ſo iſt nach 4.

ao. ce. df= co. de. af, woraus folgt: ao: co= de. af: ce. df. Nimmt man dann die andere Diagonale fe als Transverſale zu acdan, ſo iſt nach 2. am. ce. df= cm. de. af, woraus folgt: am: cm= de. af: ce. df. Es iſt alſo: ao: co= am: cm, d. h. die Diagonale ac iſt harmoniſch getheilt.

Um zu beweiſen, daß auch die andern beiden Diagonalen harmoniſch ge— theilt werden, ziehe man zuerſt fo, dann ſind fa, fo, fe, fm) harmoniſche Strahlen, folglich iſt auch die Diagonale db, welche von dieſen Strahlen durchſchnitten wird, harmoniſch getheilt. Zieht man nun noch an, ſo ſind an, ab, ao, ad harmoniſche Strahlen, folglich iſt auch die Diagonale te, die von dieſen durch— ſchnitten wird, harmoniſch getheilt..

Der Beweis dieſes Satzes läßt ſich auch ohne die Theorie der Transver⸗ ſalen führen, wenn man ſich auf Lehrſatz 22. ſtützt. Iſt nämlich ABCDEP (Fig. 33.) ein vollſtändiges Vierſeit, deſſen Diagonalen ſich in o, mund en ſchnei⸗ den, ſo nehme man zu den drei Strahlen a, b und c den vierten, dem c zuge— ordneten harmoniſchen Strahl d an und ebenſo zu den drei Strahlen a,„,„ den vierten, dem y zugeordneten harmoniſchen Strahl, dann hat man zwei Strahlbüſchel, bei welchen zwei entſprechende Strahlen c, 7 aufeinander fallen. Nach Lehrſatz 22. muß dann der Schnittpunkt der entſprechenden Strahlen d und d mit den andern Schnittpunkten A und C der entſprechenden Strahlen a und a, b und„ in eine Gerade fallen und muß der vierte harmoniſche Punkt zu A, C und m ſein. Ebenſo muß der Schnittpunkt der Strahlen d und 5