genannten Grundlinie liegt, und zwar ſind die Endpunkte dieſer Grundlinie zu den Endpunkten x, y des in ihr liegenden Durchmeſſers des Kreiſes zugeordnete harmoniſche Punkte; und ferner: die zwei Geraden ox und oy, welche die Winkel an der Spitze des Dreiecks halbiren, gehen ſtets durch zwei feſte Punkte, nämlich durch die Endpunkte x und y des genannten Durchmeſſers.

Und umgekehrt:

III. Nimmt man in einem Durchmeſſer Xy eines Kreiſes irgend zwei Punkte a, b, die in Bezug auf deſſen Endpunkte x, y conjugirte harmoniſche Punkte ſind, ſo haben je zwei Geraden ao, bo, welche dieſelben mit irgend einem Punkte o des Kreiſes verbinden, einerlei Verhältniß, und zwar verhalten ſie ſich allemal wie die Abſtände der angenommenen Punkte von dem einen oder dem anderen Endpunkte des Durchmeſſers, alſo wie ax: bx oder wie ay: by; und ferner: die zwei Geraden ox und oy, welche den jedesmaligen Punkt o im Kreiſe mit den Endpunkten des genannten Durchmeſſers verbinden, halbiren die

von jenen erſten zwei Geraden eingeſchloſſenen Winkel.

21. Lehrſatz.

Gehen bei zwei harmoniſchen Geraden die Verbindungslinien dreier Paare ent— ſprechender Punkte durch einen Schnitt— punkt, ſo geht auch die Verbindungs⸗ linie der vierten entſprechenden Punkte durch denſelben Schnittpunkt(Fig. 28.)

Vor. ay und dy ſeien harmoniſche Geraden und ad, xu, beſchneiden ſich in o.

Beh. yvy geht auch durch o.

Beweis. Angenommen yv ginge nicht durch o, ſo könnte man doch o mit y verbinden. Dann wäre aber nach 15. der Schnittpunkt w dieſer Verbindungslinie mit dv der vierte harmoniſche Punkt zu d, u und c, und man hätte:

du: cu= dv: ey nach Vor. und du: bu dw: ew

dv: cv= dw: cw, oder: †+wv= dw: cw, was unmöglich iſt, folglich muß w mit v zuſammenfallen.

Schneiden ſich bei zwei harmoni— ſchen Strahlbüſcheln drei Paare entſpre⸗ chender Strahlen auf einer Geraden, ſo liegt auch der Schnittpunkt der vierten entſprechenden Strahlen in derſelben Geraden.(Fig. 29.)

Vor. oa, ox, ob, oy und pa, px, pb, py ſeien harmoniſche Strahlen und a, X und b liegen in einer Geraden.

Beh. y liegt auch in dieſer Geraden.

Beweis. Angenommen y läge nicht in der Geraden, ſo könnte man doch p mit dem Schnittpunkte u der Geraden oy und ab verbinden. Dann wäre aber ſowohl pu, als auch py der vierte harmoniſche Errahl zu pa, px und pb und man hätte:

ax: bXx= au: bu und aX: bX= av: bv. au: bu= av: by, oder: au: bu= au Puv: bu Tuv, was unmöglich iſt, folglich muß py mit pu zuſammenfallen.

Bemerkung. Die in vorſtehenden Lehrſätzen angegebene Lage zweier harmoniſchen Ge⸗ raden oder zweier harmoniſchen Strahlbüſchel heißt die perſpectiviſche.

22. Lehrſatz.

Zwei harmoniſche Geraden ſind in perſpectiviſcher Lage, wenn zwei entſpre⸗ chende Punkte zuſammenfallen.(Fig. 30.)

Beweis. Zieht man die Verbin⸗

dungslinien Xu, be und ſchneiden ſich

Zwei harmoniſche Strahlbüſchel ſind

in perſpectiviſcher Lage, wenn zwei ent⸗ ſprechende Strahlen auf einander fallen.

(Fig. 31.). Beweis. Zieht man durch zwei

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