= az: bz und auch Abrarib.

az: bz= az 4+ zy: bzt4 zy, was unmöglich iſt, alſo muß cy ſelbſt die Halbirungslinie des Winkels dep ſein.

19. Lehrſatz.(Umkehrung zu 18.) Sind von vier harmoniſchen Strahlen zwei conjugirte Strahlen ſenkrecht Wit ender ſe halbiren ſie die von den beiden andern Strahlen eingeſchloſſenen Winkel.(Fig. 25.)

Beweis. Wenn oa, ox, ob und oy vier harmoniſche Strahlen ſind und oy Lox, ſo müſſen ox und oy die von da und ob gebildeten Winkel halbiren. Nimmt man an, dies wäre nicht der Fall, ſo könnte man doch zwei Halbirungslinien ov und 02 ziehen und dieſe müßten dann nach 17., Zuſatz, harmoniſche Strahlen ſein. Zieht man nun die Gerade ay, ſo hätte man demnach:

ax: bx= ay: by und auch

av: bv= az: b.?, welche Proportionen nicht beide richtig ſein können, denn vergleicht man die einzelnen Glieder mit einander, ſo iſt av ax, aber bv— bx, dagegen ſowohl az—ay, als auch baz by; die Strahlen ox und oy müſſen alſo ſelbſt die von oa und ox eingeſchloſſenen Winkel halbiren.

20. Lehrſatz. Sollen durch vier harmoniſche Punkte von einem fünften Punkte aus ſolche Strahlen gezogen werden, von denen das eine Paar con⸗ jugirter Strahlen die von dem anderen Paare eingeſchloſſenen Winkel halbirt, ſo muß der fünfte Punkt auf der Peripherie eines der beiden Kreiſe liegen, welche die Abſtände zweier conjugirten Punkte zu Durchmeſſern haben.(Fig. 25.)

Beweis. Sind a, x, b, y vier harmoniſche Punkte, ſo ſind die Ver— bindungslinien eines jeden Punktes des Kreiſes ab mit a und b ſenkrecht auf⸗ einander. Verbindet man dann noch den Punkt mit x und y, ſo hat man vier Strahlen, von denen nach dem vorigen Lehrſatze die beiden erſteren die von den letzteren gobildeten Winkel halbiren. Aehnlich läßt ſich daſſelbe von jedem Punkte in der Peripherie des Kreiſes xy beweiſen. Die von dem Schnittpunkee o beider Kreiſe gezogenen Strahlen ſtehen paarweiſe aufeinander ſenkrecht und je zwei conjugirte halbiren die von den andern eingeſchloſſenen Winkel.

Aus dieſem Satze laſſen ſich unmittelbar folgende Sätze herleiten:

I. Wenn die Endpunkte a und b der Grundlinie eines Dreiecks abo (Fig. 27.) feſt ſind, und wenn die Gerade ox oder oy, welche den Winkel an der Spitze oder deſſen Nebenwinkel halbirt, ſtets durch einen dritten feſten Punkt x oder y der Grundlinie geht, ſo iſt der Ort der Spitze o des Dreiecks ein beſtimmter Kreis, welcher den Abſtand Xy des dritten feſten Punktes x oder y von demjenigen Punkte y oder x, der in Bezug auf die zwei genannten End⸗ punkte a, b ſein zugeordneter harmoniſcher Punkt iſt, zum Durchmeſſer hat. In dieſem Falle, wo die Strahlen x, y die von den Strahlen a, b eingeſchloſſenen Winkel halbiren, hat man nach 2. Zuſatz 1.:

oa: ob= ax: bx= ay: by und umgekehrt, wenn dieſe Verhältniſſe gleich ſind, ſo ſudet jene Vorausſetzung ſtatt. Daher folgt ferner der nachſtehende Satz:

II. Wenn die Endpunkte a, b der Grundlinie eines Dreiecks abo feſt ſind, und wenn das Verhältniß oa: ob der beiden übrigen Seiten gegeben iſt, ſo iſt der Ort der Spitze o des Dreiecks ein Kreis, deſſen Mittelpunkt in der