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wenn einer der vier harmoniſchen Punkte in der Mitte zweier andern liegt, ſein zugeordneter Punkt im Unendlichen liegt, ſo muß, wenn von zwei zugeordneten Strahlen der eine durch den Punkt in der Mitte geht, der andere durch den unendlich fernen Punkt gehen, d. h. er muß mit der harmoniſch getheilten Linie parallel laufen und umgekehrt. 15. Lehrſatz. Jede gerade Linie wird von vier harmoniſchen Strahlen harmoniſch getheilt. Beweis folgt unmittelbar aus 11. Zuſatz. Iſt die Gerade einem der vier harmoniſchen Strahlen parallel, ſo ſchneiden die drei übrigen Strahlen gleiche Stücke auf ihr ab.(is. 23.) Der Beweis folgt zwar aus dem Vorhergehenden, er läßt ſich aber auch folgendermaßen direkt führen: Es ſei min die zu dem Strahle ao gezogene Parallele. Zieht man durch b eine beliebige andere Gerade ay, ſo wird dieſe harmoniſch getheilt; es iſt alſo: ax: bXx= ay: by. Da aber aox Nmbx und △aoy Nbny, ſo iſt: ao: mb= aXx: bX und ao: bn= ay: by ao: mb= ao: bn mb= bn, w. z. b. w.

16. Lehrſatz. Verbindet man in einem Dreieck die Mitte einer Seite mit der gegenüberliegenden Ecke und zieht man zu derſelben Seite durch die Ecke eine Parallele, ſo ſind die Mittellinie, die Parallele und die beiden in der Ecke zuſammenſtoßenden Seiten harmoniſche Strahlen.

Beweis leicht nach 14. und 15., Zuſatz.

17. Lehrſatz. Halbirt man in einem Dreiecke einen Winkel und einen anliegenden Außenwinkel, ſo ſind die beiden Halbirungslinien, welche, wie leicht einzuſehen iſt, auf einander ſenkrecht ſtehen, und die in dem gemeinſchaftlichen Scheitel der beiden Winkel zuſammentreffenden Dreiecksſeiten harmoniſche Strah— len, durch welche alſo die dritte Seite harmoniſch getheilt wird.(Fig. 24.)

Vor. ⁸³ bex= X+ xca und ₰ dcy= X yeb.

Beh. ax: bXx= ay: by.

Beweis. Nach 2., Zuſatz 1. iſt:

ax: bXx= ac: be und ay: by= ac: be aXx: bX= ay: by.

Zuſatz. Halbirt man jeden von zwei Nebenwinkeln, ſo ſind die Schenkel und die Halbirungslinien harmoniſche Strahlen; oder: Wenn man einen Winkel halbirt und in dem Scheitel auf die Halbirungslinie eine Senkrechte errichtet, ſo hat man vier harmoniſche Strahlen.

18. Lehrſatz. Bildet einer von vier harmoniſchen Strahlen mit zwei conjugirten Strahlen gleiche Winkel, ſo thut ſein conjugirter Strahl daſſelbe und ſteht alſo auf ihm ſenkrecht.

Beweis. Es ſeien ca, ex, eb und cy(Fig. 24.) vier harmoniſche Strahlen und ex halbire+ boa, ſo muß cy den ₰ deb halbiren, alſo auch ſenkrecht auf ex ſtehen. Angenommen, ey halbire nicht£ deb, ſo könnte man doch eine Halbirungslinie, etwa cz, ziehen, dann wäre aber nach 17.:

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