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ab. ad Am Ad

be'cd mn'nd' Am. Ad AB. Ab mnlnd BO O6D ab. ad AB AD

be' cd B0 6D: 12. Erklärung.(Fig. 20.) Hat das Doppelverhältniß b:ſ einer

Linie den Werth 1, ſo daß alſo ax: bx= ay: by, ſo nennt man es ein harmoniſches und man ſagt, die Gerade ay ſei harmoniſch getheilt. Aus vorſtehender Proportion erſieht man, daß das Verhältniß der Abſtände des Punktes x von den Punkten a und b dem Verhältniſſe der Abſtände des Punktes y von dem Punkte a und b gleich iſt. Man wird alſo auf einer Geraden vier harmoniſche Punkte erhalten, wenn man zu zwei angenommenen Punkten (a und b) zwei andere Punkte(X und y) ſucht, deren Abſtände von den ange⸗ nommenen in gleichem, ſonſt aber beliebigem Verhältniſſe ſtehen.

13. Aufgabe. Zu zwei gegebenen Punkten a und b(Fig. 22.) zwei Punkte x und y ſo zu beſtimmen, daß die Verhältniſſe ihrer Abſtände von den gegebenen Punkten a und b, dem Verhältniſſe der gegebenen Geraden m unden gleich ſeien.

Auflöſung. Ziehe durch den Punkt a eine beliebige Gerade ac und mache ſie= m, ziehe dann durch den Punkt b eine Parallele zu ac und mache darauf be= bd= n. Verbindet man nun c mit e und zieht man durch c und d eine Gerade bis dieſe die Linie ab durchſchneidet, ſo ſind die Schnitt— punkte x und y die verlangten Punkte, denn aus der Aehnlichkeit der Dreiecke acx und bex, ſowie acy und bdy folgt, daß:

ax: bXx= m: n und ay: by= m:n ax: bXx= ay: by.

Bemerkung. Sind drei Punkte in einer Geraden gegeben, ſo iſt der vierte harmoniſche Punkt auf ähnliche Weiſe, wie in dieſer Aufgabe, leicht zu finden.

14. Erklärung. Von vier harmoniſchen Punkten a, x, b, y heißen der erſte und dritte, der zweite und vierte einander zugeordnete oder conjugirte Punkte. Nehmen wir in Fig. 22. das Verhältniß min variabel an und denken wir uns zuerſten ſehr klein im Verhältniß zu m, ſo werden die conjugirten Punkte x und y ſehr nahe bei b liegen. Läßt man nunen immer größet und größer werden, ſo entfernen ſich die Punkte x und y nach beiden Seiten immer mehr von b. Füren= m wird ax= px, und ay muß= by ſein, was nur möglich iſt, wenn y im Unendlichen liegt. Liegt alſo ein Punkt in der Mitte zweier conjugirten Punkte, ſo liegt ſein conjugirter Punkt im Unendlichen. Wird n— m, ſo nähert ſich x immer mehr dem Punkte a und ebenſo der Punkt y, der jetzt auf der andern Seite von a gleichſam aus dem Unendlichen kommt..

Vier gerade Linicn, welche von einem beliebigen Punkte durch vier har— moniſche Punkte gezogen ſind, heißen harmoniſche Strahlen. Die von einem Punkte ausgehenden Strahlen bilden ein Strahlbüſchel. Die durch con— jugirte Punkte gehenden Strahlen werden conjugirte Strahlen genannt. Da,

Aehnlich läßt ſich beweiſen, daß