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Beh. m, n, o liegen in einer Geraden.
Beweis. Verlängere die abwechſelnd liegenden Seiten ab, cd und ef des Sechsecks, bis ſie das Qghh bilden und betrachte die verlängerten anderen drei Seiten be, de, af als Transverſalen zu dieſem Dreiecke, ſo hat man nach 2.
hn. ke. gb= kn. ge- hb gm. Kkd. he= hm. gd. ke ga. Ko.hf= ha. go. Ki.
Wenn man dieſe Gleichungen mit einander multiplicirt und berückſichtigt, daß ga. gb= gd. gc, ke. kd= kf. ke und hf. he= ha. hb, ſo folgt:
hn. Ko. gim= kn. go- hm, alſo liegen nach 3. die Punkte m, n und od in einer Geraden.
Zuſatz 1. Verlängert man in einem Kreisfünfeck abcef eine Seite af, bis ſie die in der gegenüberſtehenden Ecke c gezogene Tangente ſchneidet, ſodann von den andern vier Seiten je zwei abwechſelnd liegende ab und ce, be und ef, bis ſie ſich ſchneiden, ſo liegen dieſe Durchſchnittspunkte m, n, o in einer Geraden.(Fig. 19.)
Der Beweis iſt ebenſo wie der des Hauptſatzes, wenn man in Fig. 18. die Punkte c und d zuſammen fallen läßt, wodurch die Secante gko zur Tan⸗ gente wird.
Zuſatz 2. Verlängert man die Seiten eines dem Kreiſe eingeſchriebenen Dreiecks, bis ſie die Tangenten in den gegenüberſtehenden Ecken ſchneiden, ſo liegen die drei Schnittpunkte in einer geraden Linie.
Dieſer Satz geht aus dem Hauptſatz hervor, wenn man drei abwechſelnd liegende Seiten des Sechsecks zu Tangenten werden läßt.
10. Erklärung. Wird eine gegebene Gerade av durch zwei Punkte x und b in drei Theile getheilt, ſo nennt man das Verhältniß aus den Ver⸗ hältniſſen des erſten zum zweiten Stück und der ganzen Linie zum dritten Stück
ein Doppelverhältniß. Z. B. 1:Ps Gig. 20)
11. Lehrſatz. Werden vier von einem Punkte ausgehende Geraden (Strahlen) von mehreren andern ganz beliebigen Geraden geſchnitten, ſo ſind die Doppelverhältniſſe aller dieſer Geraden einander gleich.(Fig. 21.)
Beh ab. ad AEB. AD
beo cd BCCP' Beweis. Verbinde A mit d, ſo iſt nach 2., Zuſatz 2.:
ab Am oOb: om= a: XA und Ob: om= be mn
cd'nd ab. Am be mn.
ad AR= ⸗ oder wenn man die mittleren 7 n-
Glieder vertauſcht: ab, be Am. mn 1 ad cd Ad'nd Doppelverhältniß die inneren Glieder vertauſcht:
und wenn man nun in jedem