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Anmerkung. Obige Behauptung bleibt auch richtig, wenn die Stücke ab, ced und ef einander gleich ſind; alsdann fallen die Punkte m, n und o in eine Gerade, welche im Unend— lichen liegt.
Zuſatz 1. Denkt man ſich den Schnittpunkt s der drei Geraden as, es und es immer weiter und weiter gerückt, bis er in's Unendliche fällt, ſo daß alſo die Stücke ab, cd und ef einander parallel ſind, ſo behält die obige Behaup— tung ebenfalls ihre Richtigkeit.(Fig. 15.)
In dem Beweiſe erhält man dann:
bo: do= ab: cd
dm:fm= cd: ef fn:bn= ef: ab bo. dm. fn: do. fm. bn= ab. cd. ef: cd. ef. ab= 1:41,
alſo bo. dim. fn= do. fm. bn.
Zuſatz 2. Der vorſtehende Lehrſatz läßt ſich noch erweitern; denn wenn man auch die nicht gleichliegenden Endpunkte der Stücke ab, cd und ef mit einander verbindet, ſo liegen je zwei der Schnittpunkte dieſer Verbindungslinien mit einem der Schnittpunkte m, n, o in gerader Linie.(Fig. 16.)
Um zu beweiſen, daß z. B. die Punkteer, p unden in einer Geraden liegen, weiſt man nach, daß in dem ade:
ar. dp.en= dr. ep. an.
Betrachtet man zu dieſem Zwecke be als Transverſale zu Q☚acds, cfals Trans— verſale zu des und Dy als Transverſale zu aes, ſo hat man:
ar. cd. bS= dr. cs. ab
dp. ef. cs= ep. sf. cd
en. ab. sf= an. bs. ef, woraus folgt, daß:
ar: dr= cs. ab: cd. bs
dp: ep= sf. cd: ef. es
en: an= bs. ef: ab. sf
ar. dp. en: dr. ep. an= 1:1, oder ar. dp. en= dr. ep. an.
Anmerkung. Denkt man ſich in Fig. 16. die Stücke ab, ed und ef parallel zu ein⸗
ander, ſo wird der Beweis etwas einfacher, indem man dann mit Hülfe der Aehnlichkeit der Dreiecke erhält:
nl
ar: dr= ab: ed dp: ep= cd: ef en: an= ef: ab ar. dp. en: dr. ep. an= 1:1, alſo: ar. dp.en= dr. ep. an.
8. Lehrſatz. Bei drei beliebigen Kreiſen liegen immer die drei äußeren (ehnüihketspunkie, ſowie je zwei innere mit einem äußeren in einer Geraden. Fig. 17. Der Beweis iſt derſelbe wie der zu 7., Zuſatz 1. und 2., wenn man in den drei Kreiſen parallele Halbmeſſer zieht.
9. Pascal'ſcher Satz. Die Verlängerungen je zweier gegenüber⸗
ſtehenden Seiten eines Kreisſechsecks ſchneiden ſich in drei Punkten, welche in einer Geraden liegen.(Fig. 18.)
Vor. abedef iſt ein Kreisſechseck.