Beweis. Da NMazce Naby, NabXx Nbze und M△bey NMaxce, ſo iſt:

az: ay= ac: ab bX: bZ= ab: be cy: cex= be: ac

az. bX. C die Höhen in einem Punkte. c) Die drei Mittellinien eines Dreiecks ſchneiden ſich in einem Punkte.(Fig. 12.)

Beweis. Da az2 2

bX cX cy= ay, ſo iſt auch az. bXSc bz. cx. ay, folglich ſchneiden ſich die Mittel⸗ linien in einem Punkte.

d) Zieht man von einer Ecke eines Dreiecks eine Transverſale nach der Mitte der gegenüberſtehenden Seite(Mittellinie), ſowie von den Endpunkten dieſer Seite Transverſalen nach den Endpunkten einer ihr im Dreieck parallel gezogenen Ge⸗ raden, ſo ſchneiden ſich die drei Transverſalen in einem Punkte.(Fig. 13.)

Vor. ad= bd, mnl'ab.

Beh. cd, an und bn ſchneiden ſich in einem Punkte.

Beweis. ad: bd= 1:14(nach Vor.)

bn: en= dp: cp cm: am= cp: dp ad. bn. cm: bd.en.am= dp.cp: cp. dp= 1:1, alſo ad. bn. cm= pd. en. am und folglich ſchneiden ſich cd, an und bm in einem Punkte.

7. Lehrſatz. Nimmt man auf drei in einem Punkte ſich treffenden Geraden drei beliebige Stücke an, und zieht man immer durch die gleichliegenden End— punkte je zweier dieſer Stücke gerade Linien, bis dieſe ſich ſein den, ſo liegen die drei entſtehenden Schnittpunkte(Aehnlichkeitspunkte) in einer Geraden.(Fig. 14.)

Vor. ab, cd, ef ſeien beliebige Stücke der Geraden as, es und es.

Beh. m, n und o liegen in einer Geraden.

Beweis. Nach 3. würden die Punkte m, n und o in einer Geraden liegen, wenn ſie auf den Verlängerungen der Seiten eines Oreiecks ſo lägen, daß die Produkte je dreier nicht aneinander ſtoßenden Segmente einander gleich wären. Nun liegen aber die Punkte m, n und o auf den Verlängerungen der Seiten des Dreiecks bdf; es bleibt alſo zu beweiſen, daß: bo. dm.fn= do. fm. bn. Nach 2., Zuſatz 2.(Fig. 9.) iſt ther:

C

I

ay. bz. ex, fpolglich ſchneiden ſich

IMn

aà b bo: do=—:— as cs eod ef dm: fm=—:— cses ef ab fn: bn=—:— es as

ab cd ef. cd ef ab

f4 e, 4⁴ 21. 20 111,

bo. dm. fn: do. fm. bn=.... 2A 8 C 8 es 68 es As

folglich bo. dm. fn= do. fm. bn.