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4. Lehrſatz. Schneiden ſich die Ecktransverſalen eines Dreiecks in einem Punkte innerhalb oder außerhalb deſſelben, ſo ſind die Produkte je dreier nicht an einander ſtoßenden Segmente gleich.(Fig. 9.)

Vor. Die Ecktransverſalen ax, by, cz ſchneiden ſich in dem Punkte o.

Beh. az. bXx. cy= bz. cx. ay.

Beweis. Betrachtet man by und ax als Transverſalen der Dreiecke acz und bez, ſo hat man nach 2.

abD. Z2O. Cy= bz. co. ay und a b. zO.cX= Az. co. bX bycorway az. Co. bx

20— oder: ab. cy ab. cx b Zz. a aà z2. bX —— oder: cy cX

bz. ay. cx= az. bx. cy, w. z. b. w.

5. Lehrſatz.(Umkehrung zu 4.) Nimmt man auf drei Dreiecksſeiten oder auf einer Seite und den Verlängerungen der beiden andern drei Punkte ſo an, daß die Produkte je dreier Segmente, welche keinen gemeinſchaftlichen End— punkt haben, einander gleich ſind, und verbindet man die angenommenen Punkte mit den gegenüberſtehenden Ecken, ſo ſchneiden ſich dieſe Verbindungslinien in einem Punkte.

Vor. az. bx. cy= bz. ex. ay.

Beh. ax, by und cz ſchneiden ſich in einem Punkte.

Beweis. Angenommen, die Verbindungslinie cz ginge nicht durch den Schnittpunkt o der beiden andern, ſo könnte man doch von c aus durch o eine andere Gerade ziehen, welche die Seite ab etwa in p träfe, dann wäre aber nach 4.

ap. bx. cy= bp. cx. ay und nach Vor. auch a2.bX. Cy= bz. cx. ay

ap bp.. 2. ſrk z5 2= b oder auch ap: bp= az: bz, was unmöglich iſt.

6. Mit Hülfe des letzten Satzes laſſen ſich leicht die folgenden bekannten Sätze beweiſen:

a) Die drei Halbirungslinien der Winkel eines Dreiecks ſchneiden ſich in einem Punkte.(Fig. 10.)

Beweis. Nach 2., Zuſatz 1. iſt:

az: bz= ac: be

bx: cXx= ab: ac

cy: ay= be: ab az. bX.cCy ac. ab. be T=—= 1, alſo bz. cex. ay be. ac. ab

az. bx. Cy= bz. cx. ay, folglich treffen ſich ax, by und ecz in einem Punkte.

.b) Die drei Höhen eines Dreiecks ſchneiden ſich in einem Punkte. (Fig. 11.)