cy: ay=Cx: az(Fig. 2.)........ Tc.

und az: bz= aY: bX(Fig. 1)... z. Es iſt nun die Frage:„Wann iſt in Fig. 1. bz= b und in Fig. 3. ey= CxX2“

In Fig. 1. wird bz= bx, wenn+ bXx2= ½ ₰⁸³‿ ebz. Zieht man dann nämlich duſch b eine Halbirungoliuie des Winkels cbz, ſo iſt leicht nachzu— weiſen, daß auch XXZb= 1*—cba, daß alſo Abxz2 gleichſchenkelig iſt. Aehnlich iſt in Fig. 3. cy= cex, wenn X+ xyc= ½ Xbca.

Die Gleichungen a. und 2. ſind alſo beſtimmt und die Proportionen„. und 0. richtig, wenn die Ecktransverſalen die Winkel, welche ſie durchſchneiden, halbiren.

Zuſatz 1. Hiermit iſt der allgemeine Beweis geliefert zu einem bekannten Satze, welcher heißt: Wenn eine gerade Linie einen Winkel eines Dreiecks halbirt, ſo verhalten ſich die Stücke der durch die Halbirungslinie getheilten Seite zu einander, wie die anliegenden Seiten des Dreiecks. Alſo: az: bz= ac: bc. (Fig. 5.) Die ähnliche Behauptung gilt auch für den Fall, daß die Gerade cz den Außenwinkel deb halbirt.(Vergleiche die Gleichungen„. und 5. und die Figuren 2. und 4.)

Zuſatz 2.(Fig. 1. 3. und 6.) Dividirt man die Gleichung: az.. bx. c y = bz. CX ay auf beiden Seiten durch bz. cxX. ey, ſo erhält man:

a2 bX a y aAz. eX

=— oder:—:= ay: cy. b2. cy bZz'bX Denkt man ſich nun die Gerade cb um den Punktec ſo gedreht, daß cb mehr und mehr parallel zu ab wird, ſo rückt der Punkt b immer weiter und weiter; wenn endlich cbelhab, ſo muß der Punkteb im Unendlichen liegen und die Stücke bz und bx müſſen einander gleich und gleich unendlich Fein. Obige Proportion kann man dann ſchreiben: az:cex= ay: cy, und dies iſt die Behauptung des bekannten Satzes:„Wenn zwei ſich ſchneidende Geraden von zwei Parallelen geſchnitten werden, ſo verhalten ſich die abgeſchnittenen Stücke der Parallelen wie die Stücke der Schneidenden von ihrem Durchſchnittspunkte bis an die Parallelen.“(Fig. 7.)

3. Lehrſatz.(Umkehrung zu 2.) Liegen auf zwei Dreiecksſeiten und der Verlängerung der dritten oder auf den Verlängerungen der drei Seiten drei Punkte x, y, z ſo, daß die Produkte je dreier Segmente(Stücke von den Ecken bis zu den„Punkten x, y, z), welche keinen gemeinſchaftlichen Endpunkt haben, gleich ſind, ſo liegen die drei duntte v y, z in einer Geraden.(Fig. 8.)

Vor. az. bX. cy= bz.. a y.

Beh. X, y und 2 liegen in üinen Geraden.

Beweis. Angenommen x, y, z lägen nicht in einer Geraden, ſo könnte man doch durch X und 2 eine Gerade legen, welche die Verlängerung von ac etwa in v träfe; dann wäre aber nach Vor.:

Az. bX.CN= bz.cx. ay und nach 2. az. bX. cVY= bz. cx. ay folglich wenn man dividirt: N a y 2= aX oder: CV A V cv+ vy av+ vy Vy vy —=—— oder 1—= 1— CV A V † C V † A V

VX N VV 2„v: 22 —, was unmöglich iſt.

3

woraus folgt:—=