Im Lten und 4ten Falle heißt ſie Ecktransverſale. Geht die Ecktrans⸗ verſale zugleich durch die Mitte der der Ecke gegenüberſtehenden Seite, ſo wird ſie Mittellinie genannt.

NB. Die Bezeichnung der Durchſchnittspunkte der Transverſalen mit den Seiten, resp. deren Verlängerungen, iſt bei obigen Figuren ſo, daß der Durchſchnittspunkt mit der der Ecke a gegenüberſtehenden Seite x, der Schnittpunkt mit der b gegenüberſtehenden Seite y und der Schnittpunkt mit der e gegenüberſtehenden Seite heißt. dr den Fällen 2 und 4 fallen zwei Schnittpunkte mit Ecken zuſammen.

Die Stücke der geſchnittenen Geraden, von den Eckpunkten a, b, c des Dreiecks bis zu den Schnittpunkten X, y und z gerechnet, nennt man Abſchnitte oder Segmente der Dreiecksſeiten. Wenn wir mit der Ecke a anfangen, heißen dieſe Abſchnitte der Reihe nach:

a2 2, b 2, bx, cex, cy, ay. Je drei und drei derſelben haben keinen gemeinſchaftlichen Endpunkt, nämlich: az, bX, cy und bz, cx, ay.(In den Fällen 2 und 4 werden einige Ab— ſchnitte= o.)

2. Lehrſatz. Die Produkte je dreier Segmente, welche keinen gemein— ſchaftlichen Endpunkt haben, ſind einander gleich.(Fig. 1. u. 3.)

Vor. xy ſei eine Transverſale zu abc.

Beh. az. bX. cy= bz. cX. ay.

Beweis. Ziehe durch die Ecke b eine Parallele zur Transverſalen Xy, ſo iſt:

az: bz= ay: my und CX: bX= cy: my bz. ay bX. c;. my⸗= e,n=e woraus folgt: az. bX. cy= by. cx. ay.

Wendet man obigen Satz auf Fig. 2. und Fig. 4. an, ſo erhält man zu

Fig. 2., da bx= o und bz= 0: aAz. O. CeY= Oö. cCXaAy........ a. oder o= o und zu Fig. 4., da cy= o und cy= 0: AZ. bDXO= DZ. O. ay... 95. oder o= o. In dieſen beiden Fällen iſt die Behauptung zwar richtig, aber unbeſtimmt, d. h. es läßt ſich nichts Beſonderes daraus erſehen.

Stellen wir uns noch einmal vor, wie die Transverſalen in Fig. 1. und 3. zu Ecktransverſalen(Fig. 2. und 4.) werden, indem man ſie parallel mit ſich ſelbſt fortſchiebt, ſo ſehen wir, wie bei Fig. 1. bz und b- nach verſchiedenen Maßen kleiner und gleich Null werden; ebenſo bei Fig. 3. cy und cx. Nehmen wir nun an, die Transverſale hätte eine ſolche Lage, daß einmal bz= bx, das andere Mal cy= ex ſei, ſo würde die Behauptung in obigem Lehrſatz einmal unabhängig ſein von bz und bx, das andere Mal von cy und ex, und die beiden Gleichungen a. und 6. würden dann auch aufhören unbeſtimmt zu ſein, d. h. es würde

az. cy= cxX. ay(Fig. 2.) und aAz. bX= bz. ay(Fig. 4.), oder wenn man die erſte Gleichung durch az. ay, die zweite durch bX. b2 dividirt: