Wenn e= sin † von 0 bis 1 wächst, so wächst& von 0 bis 1 und k= tg 4.— von 0 bis 1. Daher ist die Reihe für reelle Werte von e konvergent, sobald e= 1 ist. Bricht man . 1 sie nach dem d. Gliede ab, so ist der Fehler kleiner als 1. Ka u+ 1 1— K Alle Glieder der rechten Seite lassen sich als Potenzreihen von e darstellen, die sicher konvergieren, wenn ſer= 0,66195 ist. Demnach lässt sich auch die rechte Seite formal in eine solche Potenzreihe entwickeln. Man kann aber nicht obhne weiteres, wie dies von Dziobek a. a. O. geschieht, behaupten, dass der Konvergenzbereich dieser Reihe mit dem der Potenzreihe für übereinstimmt. Dies wäre nur dann möglich, wenn die Konvergenz der Reihe

„— u= 2(LKsin u+ 2 X sin 2 u 4 2 4 3 sin 3 †....)

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für alle komplexen Werte von e innerhalb des Konvergenzkreises und die daraus resultierenden komplexen Werte von u bewiesen wäre. Die Untersuchung über den Konvergenzbereich der gesuchten Potenzreihe scheint also noch nicht abgeschlossen zu sein.

Jetzt sollen diejenigen Glieder der Reihe, deren Grad kleiner als 5 ist, entwickelt werden.

Es war 4— 1— V1—* e Nun ist 1½ 1 1 1.3 —„ 2— 2— 4— 6— (1 6 ²) 1 2 60 24 e 24 6 Daher — 1 1.„3 14 k— 2+ S*+ 16°+ 1 1 .,2—„ 2„ 4 48— 4 6 ²+ 8 64†. 5=* 1 4,—„ 4 44— 16°+ Ferner ist sin=— sin m † esin m cos m † essin„d— Zsin 2 1)+ essinm cos m(1— 3 sin ²„)+... Da. sin dm z)= sin 1m † x cs 1— la ssin m—... ist, so ist

sin 4 u= sin m+e1 sin m+† ² sin m cos m+...) = sin Am+† 27 sin m cos † e² sin m cos m cos 1¹⅛ †... — 1%1 ‧Sn 2m in m—... Daher ist sin 2 u= 2 sin m cos m † e sin m(2— 4 sin ²§)+ e ²sin ꝛn cos m(2— 8 sin ² ½)+.. sin 3 u= sin 3 m † 3 esin m cos 3m †...= sinm(3— 4 sin ² m) † esin m cos m(3— 12 sin ²„)+...

sin 4 u= sin 4 m+...= sin in cos m(4— 8 sin ²*)+... 4