Angenommen, die Behauptung sei schon für ur, u½... 2¹—1 bewiesen, so gilt sie auch für u Denn. : 1„„ 1, uz— u⸗ 1= e(sin uz 1— sin u,. 2)= 2 cos 2(u, 1+ u,— 2) sin 2(u2 1— u 2)
Nun sind 3(ul 1+ u 2) und 1(uss 1— u, 2) beständig konvergente Potenzreihen von
„ also auch cos 4(u, 1+ u, 2) und sin 1(usßu 1— un 2) und das Produkt von beiden.
F. —
Da ferner u, 1— u, mit der Potenz ⁷ 1 beginnt, so gilt dies auch von sin 1(u⸗ 1— u, 2). Daher ist u— u, l eine beständig konvergente Potenzreihe, die ⁴ als niedrigste Potenz hat. Nun gilt aber unsere Behauptung für u und r— m, also ist sie auch allgemein bewiesen.
Jetzt lässt sich
u= m+(u— m)+(u?— ur) †... formal in eine Potenzreihe von e entwickeln, aber damit ist ihre Konvergenz noch nicht nach- gewiesen. UÜber den Konvergenzbereich dieser Reihe, die gewöhnlich aus einer von Lagrange entwickelten Reihenformel abgeleitet wird, sind erst in neuerer Zeit Untersuchungen angestellt worden. Dr. O. Dziobek teilt in seinem Buche:„Die mathematischen Theorien der Planetenbewegungen“ auf Seite 21 folgendes Ergebnis mit:
Ist= 0,66195, so konvergiert die Reihe bedingungslos; ist 1= 0,66195, so konvergiert sie nur für einen Teil der Bahn; ist e= 1, so divergiert die Reihe.
Schon bevor diese Konvergenzuntersuchungen angestellt worden waren, erwies sich die Reihe als sehr brauchbar für die praktische Rechnung.
Im folgenden sollen nur diejenigen Glieder entwickelt werden, in welchen der Exponent von
e kleiner als 5 ist. Dann braucht man von den Reihen für ᷑— dr, us— ue und 2⁴ᷣ— à bew. nur 3, 2, 1 Glieder zu bestimmen.
Man benutzt die Formeln:
. 4 1. 1 sin(n+ a)= sin m † cos m— 5* ¹sin m— 6* 4 cos m... —). 1 1. cos(m+ x)= cos— sin m— 2**cos+† 6* sin m... ) Nun ist urſ m= e sin m also u2— u= e sin(m+ esin m)— sin mn] 2. 1 15 4 1„ — 2¹sin m cos m— 2 e'sin m— 6 sin m cos m... Ebenso
us— ue?= e sin(ui+ us— ul)— sin u]= e(us— ur) cos ur...
= e(u*— ul) cos(m+ e sin m)...
=(essin m cos— 2 e 4 sin ³„—...)(cos m— e sin 2—..) 3 gj 2 3 4 gin 3 es sin m cos“m 2ersin ³ n cos m—... uA— us= e ſsin(us+ us— uz²)— sin ue²]l= e(us— 22²) cos ε+‿... —. e4 sin m cos à νπ+‿‿ Z..