14 Der so berechnete Wert unterscheidet sich aber von dem wahren noch um etliche Sekunden. Denn der Ort der Erde wird noch etwas durch die Anziehung, die sie von dem Monde und den übrigen Planeten erfährt, verändert. In der Astronomie werden diese Einwirkungen als Störungen bezeichnet und aus dem Newtonschen Attraktionsgesetz berechnet. Endlich erleidet auch die Lage des Frühlingspunktes und damit die Länge jedes Himmelskörpers infolge der periodischen Schwankung der Erdachse, die man als Nutation bezeichnet, kleine Verschiebungen um einige Sekunden. Alle diese Korrektionen werden im Folgenden nicht in Betracht gezogen.

§ 5. Auflösung der Gleichung u— e sin u=m.

Um die vorhin angedeutete Rechnung auszuführen, muss man die sogenannte Keplersche Gleichung u— sin u= m nach u auflösen. Dies geschieht durch das Verfahren der Funktionswiederholung, das hier rasch konvergiert. Man berechnet der Reihe nach. =m †ée sin m e= m † e sin 2u1 us= imn+ esin 2¹² u. s. w.

Um zu beweisen, dass die Zahlen r,, 2ts... einem Grenzwert zustreben, hat man zu zeigen, dass der absolute Wert von u᷑ μ ☛ T u,(er soll durch u,ᷣ— uz bezeichnet werden) 18 8

beliebig klein wird, wenn 21 nur hinreichend gross und ganz beliebig gewählt wird. Nun ist

1 1 9 1)= 2 ecos 2(u, † u, 1) sin 2(u,— u, 1)

= e sin u,— sin? (sin— sin u 1

4+₰ 1 247 4— also ist u, l uz Se u u 1 und demnach schliesslich 264+ 1— 21 e 4+ 1 daher ist lus— u, Ceaitl+**‿ †+...

Da nun die Exzentrizität e der Ellipse kleiner als 1 ist, so ist die Reihe rechts konvergent

und gleich demnach kann man 1 so gross wählen, dass u2— uz für jédes

6 1— e“ kleiner als jede noch so kleine gegebene Zahl wird. Folglich hat die Reihe der, einen end- lichen Grenzwert, der mit bezeichnet werden soll.

Da nun

ua l= m esinua

ist und bei hinreichend grossem 4 sich ur i und m † e sin u, der Reihe nach beliebig wenig von u und u+† esinu unterscheiden, so ist die Differenz

—(m+ esin ¹¹) kleiner als jede beliebig kleine Zahl, also Null, und der Grenzwert u genügt der Gleichung

u— e sin u= m. *